Страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

203. Найдите сумму сорока первых членов арифметической прогрессии $14, 9, 4, \dots$.

Данная последовательность чисел 14, 9, 4, ... является арифметической прогрессией. Чтобы найти сумму ее первых сорока членов, необходимо определить ее первый член и разность.

Первый член прогрессии $a_1$ равен 14.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это постоянная величина, на которую каждый следующий член отличается от предыдущего. Найдем ее:

$d = a_2 - a_1 = 9 - 14 = -5$

Для проверки можно взять следующую пару членов: $d = a_3 - a_2 = 4 - 9 = -5$. Разность постоянна.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

В нашем случае $n = 40$, $a_1 = 14$ и $d = -5$. Подставим эти значения в формулу:

$S_{40} = \frac{2 \cdot 14 + (-5) \cdot (40 - 1)}{2} \cdot 40$

Выполним вычисления:

$S_{40} = \frac{28 + (-5) \cdot 39}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{28 - 195}{2} \cdot 40$

$S_{40} = \frac{-167}{2} \cdot 40$

$S_{40} = -167 \cdot 20$

$S_{40} = -3340$

Ответ: -3340

204. Арифметическая прогрессия ($a_n$) задана формулой $n$-го члена $a_n = 0,4n + 5$. Найдите сумму тридцати шести первых членов прогрессии.

Для нахождения суммы тридцати шести первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, заданной формулой $n$-го члена $a_n = 0,4n + 5$, воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

В данном случае нам нужно найти $S_{36}$, поэтому $n = 36$.

1. Найдем первый член прогрессии $a_1$, подставив $n = 1$ в заданную формулу:

$a_1 = 0,4 \cdot 1 + 5 = 0,4 + 5 = 5,4$

2. Найдем тридцать шестой член прогрессии $a_{36}$, подставив $n = 36$ в заданную формулу:

$a_{36} = 0,4 \cdot 36 + 5 = 14,4 + 5 = 19,4$

3. Теперь подставим найденные значения $a_1$, $a_{36}$ и $n = 36$ в формулу суммы:

$S_{36} = \frac{a_1 + a_{36}}{2} \cdot 36 = \frac{5,4 + 19,4}{2} \cdot 36$

Выполним вычисления:

$S_{36} = \frac{24,8}{2} \cdot 36 = 12,4 \cdot 36 = 446,4$

Ответ: 446,4

205. Найдите сумму десяти первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_1 = 6, a_{13} = 42;$

2) $a_6 = 45, a_{14} = -43.$

1) $a_1 = 6, a_{13} = 42$;
Для нахождения суммы десяти первых членов арифметической прогрессии $S_{10}$ воспользуемся формулой $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии.
Первый член $a_1 = 6$ нам известен. Найдем разность прогрессии $d$, используя формулу n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$ и данные для $a_{13}$:
$a_{13} = a_1 + (13-1)d$
Подставим известные значения:
$42 = 6 + 12d$
$12d = 42 - 6$
$12d = 36$
$d = \frac{36}{12} = 3$.
Теперь, зная $a_1 = 6$ и $d = 3$, можем вычислить сумму первых десяти членов $S_{10}$:
$S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot a_1 + (10-1) \cdot d)$
$S_{10} = 5(2 \cdot 6 + 9 \cdot 3)$
$S_{10} = 5(12 + 27)$
$S_{10} = 5 \cdot 39 = 195$.
Ответ: 195.

2) $a_6 = 45, a_{14} = -43$.
В этом случае нам неизвестны ни первый член $a_1$, ни разность $d$. Мы можем найти их, составив систему уравнений на основе формулы n-го члена $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=6$: $a_6 = a_1 + (6-1)d \implies a_1 + 5d = 45$.
Для $n=14$: $a_{14} = a_1 + (14-1)d \implies a_1 + 13d = -43$.
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} a_1 + 5d = 45 \\ a_1 + 13d = -43 \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $d$:
$(a_1 + 13d) - (a_1 + 5d) = -43 - 45$
$8d = -88$
$d = \frac{-88}{8} = -11$.
Теперь подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$a_1 + 5(-11) = 45$
$a_1 - 55 = 45$
$a_1 = 45 + 55 = 100$.
Теперь, когда мы знаем $a_1 = 100$ и $d = -11$, мы можем найти сумму первых десяти членов $S_{10}$ по формуле $S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$.
$S_{10} = \frac{10}{2}(2 \cdot 100 + (10-1) \cdot (-11))$
$S_{10} = 5(200 + 9 \cdot (-11))$
$S_{10} = 5(200 - 99)$
$S_{10} = 5 \cdot 101 = 505$.
Ответ: 505.

206. Найдите сумму семнадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_{17} = 84$, а разность прогрессии $d = 6,5$.

Для нахождения суммы первых семнадцати членов арифметической прогрессии $S_{17}$ используется формула суммы $n$ первых членов: $S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$.

При $n=17$ формула имеет вид:

$S_{17} = \frac{a_1 + a_{17}}{2} \cdot 17$

По условию задачи известны $a_{17} = 84$ и разность прогрессии $d = 6,5$. Чтобы воспользоваться формулой суммы, необходимо сначала найти первый член прогрессии $a_1$.

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Подставим известные значения для $n=17$:

$a_{17} = a_1 + (17-1)d$

$84 = a_1 + 16 \cdot 6,5$

Вычислим произведение:

$16 \cdot 6,5 = 104$

Теперь найдем $a_1$ из уравнения:

$84 = a_1 + 104$

$a_1 = 84 - 104$

$a_1 = -20$

Теперь, зная $a_1$ и $a_{17}$, можем вычислить сумму $S_{17}$:

$S_{17} = \frac{-20 + 84}{2} \cdot 17$

$S_{17} = \frac{64}{2} \cdot 17$

$S_{17} = 32 \cdot 17$

$S_{17} = 544$

Ответ: 544.

207. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7 + a_{13} = 21$ и $a_8 + a_{12} - a_{15} = 3$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Требуется найти сумму первых двадцати членов $S_{20}$. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Сначала найдем $a_1$ и $d$, используя данные условия.

1. Преобразуем данные уравнения, используя формулу n-го члена.

Из первого условия $a_7 + a_{13} = 21$ имеем:
$(a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = 21$
$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 21$
$2a_1 + 18d = 21$

Из второго условия $a_8 + a_{12} - a_{15} = 3$ имеем:
$(a_1 + (8-1)d) + (a_1 + (12-1)d) - (a_1 + (15-1)d) = 3$
$(a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) - (a_1 + 14d) = 3$
$a_1 + 7d + 11d - 14d = 3$
$a_1 + 4d = 3$

2. Решим систему уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 18d = 21 \\ a_1 + 4d = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = 3 - 4d$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2(3 - 4d) + 18d = 21$
$6 - 8d + 18d = 21$
$10d = 21 - 6$
$10d = 15$
$d = \frac{15}{10} = 1.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:
$a_1 = 3 - 4 \cdot 1.5 = 3 - 6 = -3$

3. Найдем сумму двадцати первых членов прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы для $n=20$:
$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставим найденные значения $a_1 = -3$ и $d = 1.5$ в формулу:
$S_{20} = (2 \cdot (-3) + 19 \cdot 1.5) \cdot 10$
$S_{20} = (-6 + 28.5) \cdot 10$
$S_{20} = 22.5 \cdot 10$
$S_{20} = 225$

Ответ: 225

208. При любом $n$ сумму $n$ первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле $S_n = 4n^2 - 5n$. Найдите первый член и разность этой прогрессии.

По условию задачи, сумма $n$ первых членов арифметической прогрессии задается формулой $S_n = 4n^2 - 5n$. Нам нужно найти первый член прогрессии ($a_1$) и ее разность ($d$).

Нахождение первого члена ($a_1$)

Сумма одного первого члена прогрессии ($S_1$) по определению равна самому первому члену ($a_1$).
Чтобы найти $a_1$, подставим значение $n=1$ в данную формулу:

$a_1 = S_1 = 4 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 = 4 \cdot 1 - 5 = 4 - 5 = -1$.

Таким образом, первый член прогрессии $a_1 = -1$.

Нахождение разности прогрессии ($d$)

Разность арифметической прогрессии ($d$) можно найти по формуле $d = a_2 - a_1$. Для этого нам сначала нужно найти второй член прогрессии, $a_2$.
Сумма двух первых членов ($S_2$) равна $a_1 + a_2$. Вычислим $S_2$, подставив $n=2$ в формулу:

$S_2 = 4 \cdot 2^2 - 5 \cdot 2 = 4 \cdot 4 - 10 = 16 - 10 = 6$.

Теперь, зная $S_2$ и $a_1$, мы можем найти $a_2$:

$a_2 = S_2 - a_1 = 6 - (-1) = 6 + 1 = 7$.

Наконец, вычислим разность прогрессии $d$:

$d = a_2 - a_1 = 7 - (-1) = 7 + 1 = 8$.

Ответ: первый член $a_1 = -1$; разность $d = 8$.

209. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-5.6; -5; -4.4; \ldots$.

Заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией. Для решения задачи нам необходимо найти ее первый член, разность, количество отрицательных членов и их сумму.

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1$ нам дан:

$a_1 = -5,6$

Второй член прогрессии $a_2$ также дан:

$a_2 = -5$

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членом:

$d = a_2 - a_1 = -5 - (-5,6) = -5 + 5,6 = 0,6$

2. Найдем количество отрицательных членов прогрессии.

Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составим неравенство $a_n < 0$:

$-5,6 + (n-1) \cdot 0,6 < 0$

$(n-1) \cdot 0,6 < 5,6$

$n-1 < \frac{5,6}{0,6}$

$n-1 < \frac{56}{6}$

$n-1 < \frac{28}{3}$

$n-1 < 9\frac{1}{3}$

$n < 10\frac{1}{3}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом, то отрицательными будут члены с 1-го по 10-й включительно. Таким образом, всего в прогрессии 10 отрицательных членов.

3. Найдем сумму всех отрицательных членов.

Нам нужно найти сумму первых 10 членов прогрессии ($S_{10}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставляем наши значения: $n=10$, $a_1 = -5,6$ и $d = 0,6$.

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-5,6) + 0,6 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-11,2 + 0,6 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-11,2 + 5,4}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-5,8}{2} \cdot 10$

$S_{10} = -2,9 \cdot 10 = -29$

Сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии равна -29.

Ответ: -29

210. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 11 и не больше 374.

Натуральные числа, которые кратны 11, образуют арифметическую прогрессию. В этой задаче нам нужно найти сумму членов этой прогрессии, которые не превышают 374.

Первый член этой прогрессии $a_1$ — это наименьшее натуральное число, кратное 11, то есть $a_1 = 11$.

Разность прогрессии $d$ также равна 11, так как каждый следующий член больше предыдущего на 11.

Последний член прогрессии $a_n$ — это наибольшее число, кратное 11, которое не больше 374. Чтобы найти его и определить количество членов в прогрессии, разделим 374 на 11:
$374 / 11 = 34$.
Поскольку результат — целое число, это означает, что 374 является 34-м по счету числом, кратным 11. Таким образом, последний член прогрессии $a_n = 374$, а количество членов $n = 34$.

Теперь, когда мы знаем первый член ($a_1 = 11$), последний член ($a_n = 374$) и количество членов ($n = 34$), мы можем найти их сумму по формуле суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу:
$S_{34} = \frac{11 + 374}{2} \cdot 34$
$S_{34} = \frac{385}{2} \cdot 34$
$S_{34} = 385 \cdot 17$
$S_{34} = 6545$

Ответ: 6545

211. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые кратны 9 и не больше 192.

Нам необходимо найти сумму всех натуральных чисел, которые делятся на 9 и не превышают 192. Эти числа представляют собой конечную арифметическую прогрессию.

1. Найдем первый член прогрессии ($a_1$).
Первое натуральное число, кратное 9, — это само число 9.
$a_1 = 9$.

2. Найдем последний член прогрессии ($a_n$).
Чтобы найти наибольшее число, кратное 9, которое не больше 192, разделим 192 на 9:
$192 \div 9 = 21$ (остаток 3).
Целая часть от деления равна 21. Умножим ее на 9, чтобы найти последний член прогрессии:
$a_n = 21 \times 9 = 189$.

3. Найдем количество членов прогрессии ($n$).
Разность прогрессии $d$ равна 9. Воспользуемся формулой для нахождения n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$:
$189 = 9 + (n-1) \cdot 9$
$189 - 9 = (n-1) \cdot 9$
$180 = (n-1) \cdot 9$
$n-1 = \frac{180}{9}$
$n-1 = 20$
$n = 21$
Таким образом, в данной последовательности 21 число.

4. Вычислим сумму прогрессии ($S_n$).
Сумма арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим найденные значения:
$S_{21} = \frac{9 + 189}{2} \cdot 21 = \frac{198}{2} \cdot 21 = 99 \cdot 21 = 2079$.

Ответ: 2079

212. Найдите сумму всех натуральных чисел, которые меньше 147 и при делении на 4 дают в остатке 1.

Нам нужно найти сумму всех натуральных чисел, которые удовлетворяют двум условиям: они меньше 147 и при делении на 4 дают в остатке 1.

Все числа, которые при делении на 4 дают в остатке 1, можно представить в виде формулы $a_k = 4k + 1$, где $k$ — целое неотрицательное число ($k = 0, 1, 2, \dots$).

Эти числа образуют арифметическую прогрессию. Найдем первый и последний члены этой прогрессии, которые меньше 147.

Первый член прогрессии (при $k=0$) равен $a_1 = 4 \cdot 0 + 1 = 1$.

Чтобы найти последний член, решим неравенство $a_k < 147$ относительно $k$:
$4k + 1 < 147$
$4k < 146$
$k < \frac{146}{4}$
$k < 36.5$

Максимальное целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству, — это $k=36$. Соответствующий член прогрессии будет последним в нашей последовательности:
$a_{last} = 4 \cdot 36 + 1 = 144 + 1 = 145$.

Итак, мы имеем арифметическую прогрессию с первым членом $a_1 = 1$, последним членом $a_n = 145$ и разностью $d = 4$.

Теперь найдем количество членов в этой прогрессии. Поскольку $k$ принимает значения от 0 до 36 включительно, общее количество членов $n$ равно $36 - 0 + 1 = 37$.

Сумму арифметической прогрессии можно вычислить по формуле:
$S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}$

Подставим наши значения $a_1 = 1$, $a_n = 145$ и $n = 37$:
$S_{37} = \frac{(1 + 145) \cdot 37}{2} = \frac{146 \cdot 37}{2} = 73 \cdot 37 = 2701$.

Ответ: 2701

213. Найдите разность $d$ и тринадцатый член $a_{13}$ арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = 9$, а сумма десяти первых членов $S_{10} = -15$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами арифметической прогрессии. По условию нам даны первый член прогрессии $a_1 = 9$ и сумма первых десяти членов $S_{10} = -15$.

Разность арифметической прогрессии

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

Подставим в эту формулу известные нам значения ($n=10$, $a_1=9$ и $S_{10}=-15$) и найдем разность $d$:

$-15 = \frac{2 \cdot 9 + d(10-1)}{2} \cdot 10$

Упростим уравнение:

$-15 = (18 + 9d) \cdot 5$

$-15 = 90 + 45d$

Перенесем 90 в левую часть уравнения:

$45d = -15 - 90$

$45d = -105$

$d = -\frac{105}{45}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$d = -\frac{7}{3}$

Ответ: разность прогрессии равна $-\frac{7}{3}$.

Тринадцатый член арифметической прогрессии

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти любой ее член. Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Найдем тринадцатый член ($a_{13}$), подставив $n=13$, $a_1 = 9$ и $d = -\frac{7}{3}$:

$a_{13} = 9 + (-\frac{7}{3})(13-1)$

$a_{13} = 9 + (-\frac{7}{3}) \cdot 12$

$a_{13} = 9 - \frac{7 \cdot 12}{3}$

$a_{13} = 9 - 7 \cdot 4$

$a_{13} = 9 - 28$

$a_{13} = -19$

Ответ: тринадцатый член прогрессии равен -19.

214. Найдите первый и девятый члены арифметической прогрессии, если её разность равна -4, а сумма двенадцати её первых членов равна 336.

Для решения задачи воспользуемся стандартными формулами для арифметической прогрессии.

Пусть $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, $a_n$ — n-ый член, а $S_n$ — сумма первых $n$ членов.

Из условия задачи нам известно:

• Разность прогрессии: $d = -4$
• Сумма первых двенадцати членов: $S_{12} = 336$

Нужно найти первый член ($a_1$) и девятый член ($a_9$).

Первый член

Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит так: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Подставим в эту формулу известные нам значения: $n = 12$, $S_{12} = 336$ и $d = -4$.

$336 = \frac{2a_1 + (12-1)(-4)}{2} \cdot 12$

Сократим дробь, разделив 12 на 2:

$336 = (2a_1 + 11 \cdot (-4)) \cdot 6$

$336 = (2a_1 - 44) \cdot 6$

Теперь разделим обе части уравнения на 6:

$\frac{336}{6} = 2a_1 - 44$

$56 = 2a_1 - 44$

Перенесём -44 в левую часть уравнения с противоположным знаком:

$56 + 44 = 2a_1$

$100 = 2a_1$

Отсюда находим $a_1$:

$a_1 = \frac{100}{2} = 50$

Ответ: первый член прогрессии равен 50.

Девятый член

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Чтобы найти девятый член ($a_9$), подставим в формулу значения $n=9$, найденный нами первый член $a_1=50$ и известную разность $d=-4$:

$a_9 = 50 + (9-1) \cdot (-4)$

$a_9 = 50 + 8 \cdot (-4)$

$a_9 = 50 - 32$

$a_9 = 18$

Ответ: девятый член прогрессии равен 18.

215. Первый член арифметической прогрессии равен 16, а разность равна -4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной -324?

По условию задачи нам даны:
- первый член арифметической прогрессии $a_1 = 16$;
- разность прогрессии $d = -4$;
- сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n = -324$.

Нужно найти количество членов $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения и решим полученное уравнение относительно $n$:
$-324 = \frac{2 \cdot 16 + (-4)(n-1)}{2} \cdot n$
$-324 = \frac{32 - 4n + 4}{2} \cdot n$
$-324 = \frac{36 - 4n}{2} \cdot n$
$-324 = (18 - 2n) \cdot n$
$-324 = 18n - 2n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2n^2 - 18n - 324 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$n^2 - 9n - 162 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729$
$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Теперь найдем возможные значения для $n$:
$n_1 = \frac{-(-9) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 27}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$n_2 = \frac{-(-9) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 27}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -9$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, искомое количество членов равно 18.

Ответ: 18.

216. Найдите сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать второй включительно, если первый член прогрессии равен 48, а разность прогрессии равна –4.

Для решения задачи нам нужно найти сумму членов арифметической прогрессии с восьмого по двадцать второй включительно.

По условию, нам даны:

• Первый член прогрессии $a_1 = 48$
• Разность прогрессии $d = -4$

Сначала найдем восьмой ($a_8$) и двадцать второй ($a_{22}$) члены прогрессии, используя формулу n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Вычисляем восьмой член прогрессии:
$a_8 = 48 + (8-1) \cdot (-4) = 48 + 7 \cdot (-4) = 48 - 28 = 20$.

Вычисляем двадцать второй член прогрессии:
$a_{22} = 48 + (22-1) \cdot (-4) = 48 + 21 \cdot (-4) = 48 - 84 = -36$.

Теперь нам нужно найти сумму членов с $a_8$ по $a_{22}$. Это тоже арифметическая прогрессия, где первый член равен $a_8 = 20$, последний член равен $a_{22} = -36$.

Найдем количество членов в этой последовательности:
$k = 22 - 8 + 1 = 15$.

Используем формулу суммы арифметической прогрессии: $S_k = \frac{a_{\text{первый}} + a_{\text{последний}}}{2} \cdot k$.

Подставляем наши значения:
$S = \frac{a_8 + a_{22}}{2} \cdot k = \frac{20 + (-36)}{2} \cdot 15 = \frac{20 - 36}{2} \cdot 15 = \frac{-16}{2} \cdot 15 = -8 \cdot 15 = -120$.

Ответ: -120