Страница 30 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

164. Сколько пятизначных чисел, кратных 10, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 0, 1, 2, 3, 4?

Для решения этой задачи нужно найти количество пятизначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при соблюдении следующих условий:

• Число является пятизначным.
• Все цифры в числе различны.
• Число кратно 10.

Рассмотрим каждую позицию в пятизначном числе.

1. Последняя цифра (разряд единиц).
Условие, что число кратно 10, означает, что оно должно оканчиваться на 0. Таким образом, для последней позиции есть только один возможный вариант — цифра 0.

Структура числа выглядит так: _ _ _ _ 0.

2. Оставшиеся цифры.
Поскольку все цифры должны быть различны, а мы уже использовали 0, для заполнения первых четырех позиций у нас остаются цифры {1, 2, 3, 4}.

3. Первая цифра (разряд десятков тысяч).
Первая цифра пятизначного числа не может быть 0. Это условие выполняется, так как 0 уже занят. Следовательно, на первую позицию можно поставить любую из оставшихся четырех цифр (1, 2, 3 или 4). У нас есть 4 варианта.

4. Вторая, третья и четвертая цифры.
После выбора первой цифры, для второй останется 3 варианта. Для третьей позиции останется 2 варианта. Для четвертой позиции останется 1 вариант.

Чтобы найти общее количество возможных чисел, нужно перемножить количество вариантов для каждой из первых четырех позиций. Это равно числу перестановок из 4 элементов ($4!$).

Общее количество чисел = $4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24

165. Рассматриваются пятизначные числа, в записи которых дважды присутствует цифра 3 и по одному разу каждая из цифр 1, 2 и 4. Сколько существует таких чисел?

Задача заключается в нахождении количества различных пятизначных чисел, которые можно составить из набора цифр {1, 2, 3, 3, 4}.

Мы имеем 5 цифр, из которых нужно составить пятизначное число. Поскольку в наборе нет нуля, любая перестановка этих пяти цифр даст в результате пятизначное число.

Эта задача сводится к нахождению числа перестановок с повторениями. Общее количество перестановок из $n$ элементов, где некоторые элементы повторяются $n_1, n_2, \ldots, n_k$ раз, вычисляется по формуле:

$P_n(n_1, n_2, \ldots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$

В нашем случае:

• Общее количество цифр $n=5$.
• Цифра 3 повторяется 2 раза ($n_1=2$).
• Цифры 1, 2 и 4 встречаются по одному разу ($n_2=1, n_3=1, n_4=1$).

Подставляем эти значения в формулу:

$N = \frac{5!}{2! \cdot 1! \cdot 1! \cdot 1!} = \frac{5!}{2!}$

Рассчитаем значение факториалов:

$5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 = 120$

$2! = 1 \cdot 2 = 2$

Теперь найдем общее количество таких чисел:

$N = \frac{120}{2} = 60$

Альтернативный способ решения:

Можно рассуждать поэтапно, размещая цифры на пяти позициях.

1. Сначала выберем две позиции для двух цифр 3 из пяти доступных. Количество способов сделать это равно числу сочетаний из 5 по 2:

$C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{3! \cdot 4 \cdot 5}{2! \cdot 3!} = \frac{20}{2} = 10$ способов.

2. После размещения двух троек у нас останется 3 свободных места. На эти места нужно расставить оставшиеся 3 различные цифры: 1, 2 и 4.

3. Количество способов расставить 3 различные цифры на 3-х оставшихся местах равно числу перестановок из 3 элементов ($P_3$):

$P_3 = 3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ способов.

4. Чтобы найти общее количество таких пятизначных чисел, необходимо перемножить количество способов на каждом этапе:

$N = C_5^2 \cdot P_3 = 10 \cdot 6 = 60$

Оба способа приводят к одному и тому же результату.

Ответ: 60

166. В коробке лежат 6 белых и 14 красных шаров. Какова вероятность того, что выбранный наугад шар окажется:

1) белым;

2) красным;

3) белым или красным;

4) жёлтым?

Для решения задачи по теории вероятностей сначала определим общее число возможных исходов. В коробке лежат 6 белых и 14 красных шаров. Общее количество шаров (общее число исходов $n$) равно:

$n = 6 + 14 = 20$

Вероятность события вычисляется по классической формуле: $P = \frac{m}{n}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $n$ – общее число исходов.

1) белым
Число благоприятных исходов для выбора белого шара равно количеству белых шаров, то есть $m = 6$.
Вероятность того, что выбранный наугад шар окажется белым, равна:
$P(\text{белый}) = \frac{6}{20} = \frac{3}{10} = 0,3$
Ответ: $0,3$

2) красным
Число благоприятных исходов для выбора красного шара равно количеству красных шаров, то есть $m = 14$.
Вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна:
$P(\text{красный}) = \frac{14}{20} = \frac{7}{10} = 0,7$
Ответ: $0,7$

3) белым или красным
В коробке находятся только белые и красные шары. Следовательно, любой выбранный шар будет либо белым, либо красным. Это событие является достоверным, и его вероятность равна 1.
Число благоприятных исходов равно общему числу шаров: $m = 6 + 14 = 20$.
Вероятность того, что выбранный шар окажется белым или красным, равна:
$P(\text{белый или красный}) = \frac{20}{20} = 1$
Ответ: $1$

4) жёлтым
В коробке нет жёлтых шаров. Следовательно, событие, при котором будет вытащен жёлтый шар, является невозможным, и его вероятность равна 0.
Число благоприятных исходов равно нулю: $m = 0$.
Вероятность того, что выбранный шар окажется жёлтым, равна:
$P(\text{жёлтый}) = \frac{0}{20} = 0$
Ответ: $0$

167. В лотерее разыгрывается 6 автомобилей, 18 мотоциклов и 42 велосипеда. Всего выпущено 3000 лотерейных билетов. Какова вероятность, купив один билет:

1) выиграть мотоцикл;

2) выиграть какой-нибудь приз;

3) не выиграть никакого приза?

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

В данном случае общее число исходов $n$ равно общему количеству выпущенных лотерейных билетов, то есть $n = 3000$.

1) выиграть мотоцикл;

Пусть событие $A$ — это выигрыш мотоцикла. Число билетов, на которые выпадает выигрыш мотоцикла, равно 18. Следовательно, число благоприятствующих исходов $m = 18$.

Вероятность выиграть мотоцикл рассчитывается по формуле:

$P(A) = \frac{18}{3000}$

Сократим дробь на 6:

$P(A) = \frac{18 \div 6}{3000 \div 6} = \frac{3}{500} = 0,006$

Ответ: $0,006$.

2) выиграть какой-нибудь приз;

Пусть событие $B$ — это выигрыш какого-либо приза. Для начала найдем общее количество выигрышных билетов.

Число всех призов = 6 (автомобилей) + 18 (мотоциклов) + 42 (велосипеда) = 66.

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 66$.

Вероятность выиграть какой-нибудь приз:

$P(B) = \frac{66}{3000}$

Сократим дробь на 6:

$P(B) = \frac{66 \div 6}{3000 \div 6} = \frac{11}{500} = 0,022$

Ответ: $0,022$.

3) не выиграть никакого приза?

Пусть событие $C$ — это отсутствие выигрыша. Данное событие является противоположным событию $B$ (выиграть какой-нибудь приз). Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

$P(C) = 1 - P(B)$

$P(C) = 1 - 0,022 = 0,978$

Также можно найти вероятность этого события, вычислив количество невыигрышных билетов.

Количество невыигрышных билетов = $3000 - (\text{общее количество призов}) = 3000 - 66 = 2934$.

Число благоприятствующих исходов $m = 2934$.

Вероятность не выиграть приз:

$P(C) = \frac{2934}{3000}$

Сократим дробь на 6:

$P(C) = \frac{2934 \div 6}{3000 \div 6} = \frac{489}{500} = 0,978$

Ответ: $0,978$.

168. Из натуральных чисел от 1 до 16 включительно ученик наугад называет одно. Какова вероятность того, что это число является делителем числа 16?

По условию задачи, ученик случайным образом выбирает одно натуральное число из диапазона от 1 до 16 включительно. Общее количество возможных вариантов выбора (элементарных исходов) равно 16. Обозначим это число как $N$.

$N = 16$.

Нам нужно найти вероятность того, что выбранное число является делителем числа 16. Такие исходы называются благоприятными. Найдем все натуральные делители числа 16, которые находятся в заданном диапазоне.

Делителями числа 16 являются: 1, 2, 4, 8, 16.

Все эти делители входят в диапазон от 1 до 16. Подсчитаем их количество. Всего 5 таких чисел. Обозначим количество благоприятных исходов как $m$.

$m = 5$.

Вероятность $P$ события вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{N}$

Подставим найденные значения $m$ и $N$ в формулу:

$P = \frac{5}{16}$

Таким образом, вероятность того, что названное число является делителем числа 16, равна $\frac{5}{16}$.

Ответ: $\frac{5}{16}$

169. Какова вероятность того, что наугад выбранное дву-значное число делится нацело на 12?

Для нахождения вероятности события воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих данному событию.

Сначала определим общее число исходов $n$. Нас интересуют все двузначные числа. Двузначными являются целые числа от 10 до 99 включительно. Их количество можно найти, вычтя из последнего числа (99) первое (10) и прибавив единицу: $n = 99 - 10 + 1 = 90$. Таким образом, всего существует 90 двузначных чисел.

Далее определим число благоприятствующих исходов $m$. Это количество двузначных чисел, которые делятся нацело на 12. Выпишем все такие числа (кратные 12):

• $12 \cdot 1 = 12$
• $12 \cdot 2 = 24$
• $12 \cdot 3 = 36$
• $12 \cdot 4 = 48$
• $12 \cdot 5 = 60$
• $12 \cdot 6 = 72$
• $12 \cdot 7 = 84$
• $12 \cdot 8 = 96$

Следующее число, кратное 12, это $12 \cdot 9 = 108$, которое уже является трехзначным. Следовательно, количество двузначных чисел, делящихся на 12, равно 8. Таким образом, $m = 8$.

Теперь можем рассчитать искомую вероятность, подставив найденные значения $n$ и $m$ в формулу: $P = \frac{m}{n} = \frac{8}{90}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: $P = \frac{8 \div 2}{90 \div 2} = \frac{4}{45}$

Ответ: $\frac{4}{45}$

170. В коробке лежат 3 белых и 4 синих шара. Какое наименьшее количество шаров надо вынуть наугад, чтобы вероятность того, что среди них окажется хотя бы один синий, была равна 1?

В коробке находятся 3 белых и 4 синих шара. Всего в коробке $3 + 4 = 7$ шаров.

Требуется найти наименьшее количество шаров, которое нужно вынуть, чтобы событие "среди вынутых шаров есть хотя бы один синий" стало достоверным. Достоверное событие — это событие, вероятность которого равна 1.

Чтобы гарантированно вынуть хотя бы один синий шар, мы должны рассмотреть самый неблагоприятный сценарий. Такой сценарий предполагает, что мы сначала будем вынимать шары всех остальных цветов, то есть белые.

В коробке 3 белых шара. В худшем случае мы можем вынуть все 3 белых шара подряд:

1-й шар — белый.
2-й шар — белый.
3-й шар — белый.

После того как мы вынули все 3 белых шара, в коробке останутся только синие шары. Следовательно, какой бы шар мы ни вынули следующим, он гарантированно будет синим.

Таким образом, чтобы со стопроцентной вероятностью (с вероятностью, равной 1) вынуть хотя бы один синий шар, нужно вынуть все белые шары и еще один.

Количество шаров = (количество белых шаров) + 1 = $3 + 1 = 4$.

Ответ: 4.

171. В коробке лежат красные и жёлтые шары. Сколько красных шаров в коробке, если вероятность вынуть из неё наугад красный шар равна $\frac{3}{8}$, а жёлтых шаров в коробке 20?

Пусть $k$ — это количество красных шаров в коробке.

По условию, в коробке также лежат 20 жёлтых шаров.

Следовательно, общее количество шаров в коробке равно сумме красных и жёлтых шаров: $k + 20$.

Вероятность события — это отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех возможных исходов. В данном случае, вероятность вынуть красный шар равна:

$P(\text{красный}) = \frac{\text{количество красных шаров}}{\text{общее количество шаров}} = \frac{k}{k+20}$

Из условия задачи известно, что вероятность вынуть красный шар равна $\frac{3}{8}$. Мы можем составить уравнение:

$\frac{k}{k+20} = \frac{3}{8}$

Решим это уравнение, используя основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних):

$8 \cdot k = 3 \cdot (k + 20)$

Раскроем скобки:

$8k = 3k + 60$

Перенесём слагаемые, содержащие переменную $k$, в левую часть уравнения:

$8k - 3k = 60$

$5k = 60$

Теперь найдём значение $k$:

$k = \frac{60}{5}$

$k = 12$

Таким образом, в коробке находится 12 красных шаров.

Ответ: 12

172. Четыре карточки пронумерованы числами 1, 2, 3 и 4. Какова вероятность того, что произведение номеров двух наугад выбранных карточек будет кратным 3?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. У нас есть 4 карточки, и мы выбираем 2 из них. Порядок выбора не имеет значения, поэтому мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ по $k$:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае $n=4$ (общее количество карточек) и $k=2$ (количество выбираемых карточек). Общее число исходов $N$ равно:

$N = C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} = 6$

Всего существует 6 возможных пар карточек, которые можно выбрать: (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4).

Теперь определим количество благоприятных исходов. Благоприятный исход — это такой, при котором произведение номеров на двух выбранных карточках кратно 3. Произведение двух целых чисел делится на 3, если хотя бы один из сомножителей делится на 3.

Среди номеров карточек {1, 2, 3, 4} только число 3 кратно 3. Следовательно, для выполнения условия одна из выбранных карточек должна быть карточкой с номером 3.

Найдем все пары, которые содержат карточку с номером 3:
1. Пара (1, 3). Произведение: $1 \cdot 3 = 3$. 3 кратно 3.
2. Пара (2, 3). Произведение: $2 \cdot 3 = 6$. 6 кратно 3.
3. Пара (3, 4). Произведение: $3 \cdot 4 = 12$. 12 кратно 3.

Таким образом, у нас есть 3 благоприятных исхода. Обозначим их количество как $M$. Итак, $M=3$.

Вероятность события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов $M$ к общему числу исходов $N$:

$P = \frac{M}{N} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$