Страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 7x + 6 \leq 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x > a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 12 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x > a$, то есть с интервалом $(a, \infty)$. Для этого рассмотрим различные значения параметра $a$ относительно ключевых точек $-3$ и $4$.

1. Если $a < -3$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ пересекается с обоими частями решения первого неравенства. Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает объединение интервалов $(a, -3)$ и $(4, \infty)$.
Решение системы: $x \in (a, -3) \cup (4, \infty)$.

2. Если $-3 \le a < 4$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ не пересекается с интервалом $(-\infty, -3)$, но пересекается с интервалом $(4, \infty)$. Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает интервал $(4, \infty)$.
Решение системы: $x \in (4, \infty)$.

3. Если $a \ge 4$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ является подмножеством интервала $(4, \infty)$ (или совпадает с ним, если $a=4$, но неравенство $x>a$ строгое). Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает интервал $(a, \infty)$.
Решение системы: $x \in (a, \infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in (a, -3) \cup (4, \infty)$; если $-3 \le a < 4$, то $x \in (4, \infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in (a, \infty)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 7x + 6 \le 0, \\ x < a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 7x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 7x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 7x + 6 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-6, -1]$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$, то есть с интервалом $(-\infty, a)$. Для этого рассмотрим различные значения параметра $a$ относительно ключевых точек $-6$ и $-1$.

1. Если $a \le -6$.
Интервал $(-\infty, a)$ не имеет общих точек с отрезком $[-6, -1]$. Их пересечение пусто.
Решений у системы нет: $x \in \emptyset$.

2. Если $-6 < a \le -1$.
Интервал $(-\infty, a)$ частично пересекается с отрезком $[-6, -1]$. Пересечением является полуинтервал, начинающийся с $-6$ (включительно) и заканчивающийся $a$ (не включительно).
Решение системы: $x \in [-6, a)$.

3. Если $a > -1$.
Отрезок $[-6, -1]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, a)$. Их пересечением будет сам отрезок $[-6, -1]$.
Решение системы: $x \in [-6, -1]$.

Ответ: если $a \le -6$, то решений нет; если $-6 < a \le -1$, то $x \in [-6, a)$; если $a > -1$, то $x \in [-6, -1]$.

125. Для каждого значения a решите неравенство:

1) $x^2 - (a + 3)x + 3a \leq 0;$

2) $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 > 0.$

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 - (a + 3)x + 3a \le 0$.

Для решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - (a + 3)x + 3a = 0$.

По теореме Виета, сумма корней $x_1 + x_2 = a+3$, а произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 3a$. Отсюда следует, что корнями являются $x_1 = a$ и $x_2 = 3$.

Тогда неравенство можно переписать в виде $(x-a)(x-3) \le 0$.

Графиком функции $y = (x-a)(x-3)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции не положительны ($ \le 0 $) на промежутке между корнями (включая сами корни).

Для определения решения необходимо сравнить значения корней $a$ и $3$.

1. Если $a < 3$, то меньший корень равен $a$, а больший равен $3$. Решением неравенства будет промежуток $[a, 3]$.

2. Если $a = 3$, то корни совпадают: $x_1 = x_2 = 3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 \le 0$. Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому единственное решение — это когда $(x-3)^2 = 0$, то есть $x=3$.

3. Если $a > 3$, то меньший корень равен $3$, а больший равен $a$. Решением неравенства будет промежуток $[3, a]$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in [a, 3]$; если $a = 3$, то $x = 3$; если $a > 3$, то $x \in [3, a]$.

Рассмотрим квадратное неравенство $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (1 - 3a)x + 2a^2 - 3a - 2 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$:

$D = (1 - 3a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - 3a - 2) = (1 - 6a + 9a^2) - (8a^2 - 12a - 8) = 1 - 6a + 9a^2 - 8a^2 + 12a + 8 = a^2 + 6a + 9 = (a+3)^2$.

Так как $D = (a+3)^2 \ge 0$ при любых $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Найдем корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-(1-3a) \pm \sqrt{(a+3)^2}}{2} = \frac{3a-1 \pm (a+3)}{2}$.

$x_1 = \frac{3a-1 - (a+3)}{2} = \frac{2a-4}{2} = a-2$.

$x_2 = \frac{3a-1 + (a+3)}{2} = \frac{4a+2}{2} = 2a+1$.

Неравенство можно записать в виде $(x - (a-2))(x - (2a+1)) > 0$.

Графиком функции $y = (x - (a-2))(x - (2a+1))$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны ($ > 0 $) на промежутках вне интервала между корнями.

Для определения решения необходимо сравнить корни $x_1 = a-2$ и $x_2 = 2a+1$.

Найдем, при каком значении $a$ корни равны: $a-2 = 2a+1 \implies -a = 3 \implies a = -3$.

1. Если $a > -3$, то $a+3 > 0$, и $a-2 < 2a+1$. Решением будет объединение интервалов $(-\infty, a-2) \cup (2a+1, +\infty)$.

2. Если $a = -3$, то корни совпадают: $x_1 = x_2 = -3-2 = -5$. Неравенство принимает вид $(x+5)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -5$. Решением является $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$.

3. Если $a < -3$, то $a+3 < 0$, и $a-2 > 2a+1$. Решением будет объединение интервалов $(-\infty, 2a+1) \cup (a-2, +\infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in (-\infty, 2a+1) \cup (a-2, +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty, -5) \cup (-5, +\infty)$; если $a > -3$, то $x \in (-\infty, a-2) \cup (2a+1, +\infty)$.

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 - x - 3| < 9$

2) $|x^2 + 5x| > 6$

3) $|x - 4|(x + 2) \geq 4x$

4) $x^2 - 4|x| < 12$

5) $x^2 - 5x + 9 > |x - 6|$

6) $x^2 + 2|x - 1| + 7 \leq 4|x - 2|$

1) $|x^2 - x - 3| < 9$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно системе неравенств $-a < f(x) < a$.

$-9 < x^2 - x - 3 < 9$

Это эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 3 > -9 \\ x^2 - x - 3 < 9 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - x - 3 > -9$

$x^2 - x + 6 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 6$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то парабола $y = x^2 - x + 6$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 6 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - x - 3 < 9$

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется между корнями.

Решение: $x \in (-3; 4)$.

Решением исходной системы является пересечение решений двух неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap (-3; 4) = (-3; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 4)$.

2) $|x^2 + 5x| > 6$

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

$\begin{bmatrix} x^2 + 5x > 6 \\ x^2 + 5x < -6 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 5x < -6$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (-3; -2)$.

Общим решением является объединение решений двух неравенств: $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty) \cup (-3; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-3; -2) \cup (1; +\infty)$.

3) $|x - 4|(x + 2) \ge 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:

$(x - 4)(x + 2) \ge 4x$

$x^2 - 2x - 8 \ge 4x$

$x^2 - 6x - 8 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 8 = 0$ через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{17}] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Учитывая условие $x \ge 4$, найдем пересечение. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $3 - \sqrt{17} < 0$ и $3 + \sqrt{17} > 7$. Следовательно, решение для этого случая: $x \in [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Неравенство принимает вид:

$(4 - x)(x + 2) \ge 4x$

$-x^2 + 2x + 8 \ge 4x$

$-x^2 - 2x + 8 \ge 0$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Решение неравенства: $x \in [-4; 2]$.

Учитывая условие $x < 4$, решение для этого случая: $x \in [-4; 2]$.

Объединим решения обоих случаев: $[-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

4) $x^2 - 4|x| < 12$

Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 4t < 12$

$t^2 - 4t - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -2$.

Решение неравенства для $t$: $t \in (-2; 6)$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 6$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 \le |x| < 6$

Это неравенство равносильно $|x| < 6$, что в свою очередь равносильно $-6 < x < 6$.

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

5) $x^2 - 5x + 9 > |x - 6|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.

$|x - 6| = x - 6$.

$x^2 - 5x + 9 > x - 6$

$x^2 - 6x + 15 > 0$

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 6x + 15$ всегда положителен. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

С учетом условия $x \ge 6$, получаем решение для этого случая: $x \in [6; +\infty)$.

Случай 2: $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.

$|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

$x^2 - 5x + 9 > 6 - x$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

С учетом условия $x < 6$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 6)$.

Объединим решения обоих случаев: $((-\infty; 1) \cup (3; 6)) \cup [6; +\infty) = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

6) $x^2 + 2|x - 1| + 7 \le 4|x - 2|$

Рассмотрим три интервала, на которые числовую ось делят точки $x=1$ и $x=2$.

Случай 1: $x < 1$.

На этом интервале $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

$x^2 + 2(1 - x) + 7 \le 4(2 - x)$

$x^2 - 2x + 9 \le 8 - 4x$

$x^2 + 2x + 1 \le 0$

$(x + 1)^2 \le 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при $(x+1)^2 = 0$, то есть $x = -1$.

Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 1$, значит, является решением.

Случай 2: $1 \le x < 2$.

На этом интервале $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

$x^2 + 2(x - 1) + 7 \le 4(2 - x)$

$x^2 + 2x + 5 \le 8 - 4x$

$x^2 + 6x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 6x - 3 = 0$: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(-3)}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение неравенства: $x \in [-3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}]$.

Так как $-3 + 2\sqrt{3} \approx -3 + 2 \cdot 1.73 = 0.46 < 1$, интервал $[-3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}]$ не имеет общих точек с интервалом $[1; 2)$. В этом случае решений нет.

Случай 3: $x \ge 2$.

На этом интервале $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = x - 2$.

$x^2 + 2(x - 1) + 7 \le 4(x - 2)$

$x^2 + 2x + 5 \le 4x - 8$

$x^2 - 2x + 13 \le 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 - 52 = -48 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 2x + 13$ всегда положителен. Неравенство не имеет решений.

Объединяя решения всех случаев, получаем единственное решение $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.

127. Решите графически систему уравнений:

1)

Для решения системы $ \begin{cases} xy = 8, \\ x + y = 6 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения в одной системе координат.

Первое уравнение, $xy = 8$, можно представить в виде функции $y = 8/x$. Это гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат. Для построения найдем несколько точек: (1, 8), (2, 4), (4, 2), (8, 1), а также (-1, -8), (-2, -4), (-4, -2), (-8, -1).

Второе уравнение, $x + y = 6$, можно представить в виде функции $y = 6 - x$. Это прямая. Для её построения достаточно двух точек, например, (0, 6) и (6, 0).

Построив оба графика, находим их точки пересечения. Из графиков видно, что гипербола и прямая пересекаются в двух точках: (2, 4) и (4, 2).

Ответ: (2, 4), (4, 2).

2)

Для решения системы $ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 3, \\ y = 3x - 1 \end{cases} $ графически, построим графики каждой функции.

Первая функция $y = x^2 - 2x + 3$ — это парабола, ветви которой направлены вверх. Координаты вершины параболы: $x_0 = -(-2)/(2 \cdot 1) = 1$, $y_0 = 1^2 - 2(1) + 3 = 2$. Вершина находится в точке (1, 2). Для построения возьмем еще несколько точек: (0, 3), (2, 3), (3, 6), (4, 11).

Вторая функция $y = 3x - 1$ — это прямая. Для её построения возьмем две точки, например, (0, -1) и (1, 2).

Построив графики параболы и прямой в одной системе координат, находим их точки пересечения. Это точки (1, 2) и (4, 11).

Ответ: (1, 2), (4, 11).

3)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 - y = 8, \\ x + y = -2 \end{cases} $ графически, преобразуем уравнения и построим их графики.

Первое уравнение преобразуется к виду $y = x^2 - 8$. Это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке (0, -8).

Второе уравнение преобразуется к виду $y = -x - 2$. Это прямая, проходящая через точки (0, -2) и (-2, 0).

Строим параболу и прямую в одной системе координат. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в точках (-3, 1) и (2, -4).

Ответ: (-3, 1), (2, -4).

4)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25, \\ y = 2x - 5 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 25$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{25} = 5$.

Второе уравнение $y = 2x - 5$ — это прямая. Для её построения можно взять точки (0, -5) и (2.5, 0).

Построив окружность и прямую, находим их точки пересечения. Графики пересекаются в точках (0, -5) и (4, 3).

Ответ: (0, -5), (4, 3).

5)

Для решения системы $ \begin{cases} (x + 2)^2 + y^2 = 10, \\ x + y + 4 = 0 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $(x + 2)^2 + y^2 = 10$ — это уравнение окружности с центром в точке (-2, 0) и радиусом $R = \sqrt{10} \approx 3.16$.

Второе уравнение $x + y + 4 = 0$ можно переписать в виде $y = -x - 4$. Это прямая, проходящая через точки (0, -4) и (-4, 0).

Строим окружность и прямую в одной системе координат. Точками пересечения графиков являются решения системы. Из построения находим, что это точки (-5, 1) и (-1, -3).

Ответ: (-5, 1), (-1, -3).

6)

Для решения системы $ \begin{cases} x^2 + y^2 = 13, \\ xy = -6 \end{cases} $ графически, построим графики каждого уравнения.

Первое уравнение $x^2 + y^2 = 13$ — это уравнение окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом $R = \sqrt{13} \approx 3.6$.

Второе уравнение $xy = -6$ можно представить в виде $y = -6/x$. Это гипербола, ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат.

Построив окружность и гиперболу, находим их точки пересечения. Графики пересекаются в четырех точках: (-3, 2), (-2, 3), (2, -3) и (3, -2).

Ответ: (-3, 2), (-2, 3), (2, -3), (3, -2).

128. Определите графически количество решений системы уравнений:

1) $\begin{cases} y = \sqrt{x}, \\ y = x - 4; \end{cases}$

2) $\begin{cases} y = x^2 - 5, \\ y = 6 - x^2; \end{cases}$

3) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 4, \\ y = x^2 - 2; \end{cases}$

4) $\begin{cases} xy = 5, \\ y = 0,5x^2 + 1; \end{cases}$

5) $\begin{cases} x^2 + (y + 3)^2 = 9, \\ y = -4x^2 + 2; \end{cases}$

6) $\begin{cases} |y| = |x|, \\ y = x^2 - 6x + 5. \end{cases}$

Рассмотрим графики уравнений системы: $y = \sqrt{x}$ и $y = x - 4$. График уравнения $y = \sqrt{x}$ — это верхняя ветвь параболы $x=y^2$, лежащая в первой координатной четверти. График уравнения $y = x - 4$ — это прямая, проходящая через точки $(4, 0)$ и $(0, -4)$. Поскольку график $y = \sqrt{x}$ существует только при $x \ge 0$ и $y \ge 0$, пересечение возможно только при $x-4 \ge 0$, то есть при $x \ge 4$. В точке $x=4$ значение функции $y=\sqrt{x}$ равно $2$, а значение функции $y=x-4$ равно $0$. Так как прямая растет быстрее, чем ветвь параболы (при $x > 1/4$), и в точке $x=4$ прямая находится ниже, графики пересекутся ровно в одной точке.

Ответ: 1

Рассмотрим графики уравнений системы: $y = x^2 - 5$ и $y = 6 - x^2$. График уравнения $y = x^2 - 5$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -5)$, ветви которой направлены вверх. График уравнения $y = 6 - x^2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 6)$, ветви которой направлены вниз. Обе параболы симметричны относительно оси Oy. Вершина одной параболы находится ниже вершины другой, а ветви направлены навстречу друг другу. Следовательно, графики пересекутся в двух точках, симметричных относительно оси Oy.

Ответ: 2

Рассмотрим графики уравнений системы: $x^2 + y^2 = 4$ и $y = x^2 - 2$. График уравнения $x^2 + y^2 = 4$ — это окружность с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $2$. График уравнения $y = x^2 - 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы $(0, -2)$ является самой нижней точкой окружности, так как $0^2 + (-2)^2 = 4$. Ветви параболы направлены вверх "внутрь" окружности и пересекут ее еще в двух точках, симметричных относительно оси Oy. Таким образом, всего будет три точки пересечения.

Ответ: 3

Рассмотрим графики уравнений системы: $xy = 5$ и $y = 0,5x^2 + 1$. График уравнения $xy = 5$, или $y = 5/x$, — это гипербола с ветвями в первой и третьей координатных четвертях. График уравнения $y = 0,5x^2 + 1$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которой направлены вверх. Вся парабола лежит в верхней полуплоскости, так как $y \ge 1$. Поэтому она может пересекаться только с ветвью гиперболы, расположенной в первой четверти (где $y>0$). В первой четверти парабола возрастает от $(0,1)$, а гипербола убывает. Они обязательно пересекутся, причем только в одной точке.

Ответ: 1

Рассмотрим графики уравнений системы: $x^2 + (y + 3)^2 = 9$ и $y = -4x^2 + 2$. График уравнения $x^2 + (y + 3)^2 = 9$ — это окружность с центром в точке $(0, -3)$ и радиусом $3$. Самая высокая точка окружности - $(0, 0)$, самая низкая - $(0, -6)$. График уравнения $y = -4x^2 + 2$ — это парабола с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы $(0, 2)$ находится над окружностью. Так как ветви параболы направлены вниз, они пересекут окружность в двух точках. Парабола продолжит движение вниз внутри окружности и, поскольку она уже, чем окружность на определенной высоте, пересечет ее снова в двух других точках. Таким образом, графики имеют четыре точки пересечения.

Ответ: 4

Рассмотрим графики уравнений системы: $|y| = |x|$ и $y = x^2 - 6x + 5$. График уравнения $|y| = |x|$ представляет собой объединение двух прямых: $y = x$ и $y = -x$. График уравнения $y = x^2 - 6x + 5$ — это парабола с вершиной в точке $(3, -4)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $(1, 0)$ и $(5, 0)$. Найдем количество пересечений параболы с каждой из прямых. 1) Пересечение с $y = x$: $x = x^2 - 6x + 5 \implies x^2 - 7x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 49 - 20 = 29 > 0$, следовательно, есть две точки пересечения. 2) Пересечение с $y = -x$: $-x = x^2 - 6x + 5 \implies x^2 - 5x + 5 = 0$. Дискриминант $D = 25 - 20 = 5 > 0$, следовательно, есть еще две точки пересечения. Всего получается четыре точки пересечения.

Ответ: 4