Страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Построив в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = -x^2 + 6x - 5$, определите количество корней уравнения $-x^2 + 6x - 5 = \frac{8}{x}$.

Задача состоит в том, чтобы определить количество решений уравнения $-x^2 + 6x - 5 = \frac{8}{x}$. Количество решений этого уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 + 6x - 5$ и $y = \frac{8}{x}$. Для этого построим оба графика в одной системе координат.

Построение графика функции $y = \frac{8}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=8 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

Построение графика функции $y = -x^2 + 6x - 5$

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

Подставим $x_в$ в уравнение, чтобы найти $y_в$:

$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
  $-x^2 + 6x - 5 = 0$
  $x^2 - 6x + 5 = 0$
  По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Составим таблицу точек для построения параболы:

Определение количества корней уравнения

Построив графики функций в одной системе координат, мы можем определить количество их точек пересечения.

Анализ графиков показывает, что они пересекаются в трех точках:

• Одна точка пересечения находится в III четверти, где $x < 0$.
• Две точки пересечения находятся в I четверти, где $x > 0$.

Следовательно, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: 3

94. Найдите координаты точки параболы $y = -x^2 + 5x + 5$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 13.

1) абсцисса и ордината равны;

Дано уравнение параболы $y = -x^2 + 5x + 5$. Координаты искомой точки обозначим как $(x; y)$. Абсцисса точки — это координата $x$, а ордината — это координата $y$. По условию, абсцисса и ордината равны, то есть $y = x$. Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит параболе и удовлетворяет этому условию, подставим $y = x$ в уравнение параболы:$x = -x^2 + 5x + 5$Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + x - 5x - 5 = 0$$x^2 - 4x - 5 = 0$Решим полученное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Так как по условию $y = x$, то для каждого найденного значения абсциссы находим соответствующую ординату:Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 5$. Координаты первой точки: $(5; 5)$. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$. Координаты второй точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(5; 5)$ и $(-1; -1)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 13.

По условию, сумма абсциссы и ординаты равна 13, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 13$. Из этого уравнения выразим $y$: $y = 13 - x$. Теперь подставим это выражение для $y$ в уравнение параболы $y = -x^2 + 5x + 5$:$13 - x = -x^2 + 5x + 5$Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 5x - x + 13 - 5 = 0$$x^2 - 6x + 8 = 0$Решим это уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Теперь найдём соответствующие ординаты, используя соотношение $y = 13 - x$:Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 13 - 2 = 11$. Координаты первой точки: $(2; 11)$. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 13 - 4 = 9$. Координаты второй точки: $(4; 9)$.

Ответ: $(2; 11)$ и $(4; 9)$.

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 16$;

2) $f(x) = -\frac{1}{7}x^2 + 2x + 3$;

3) $f(x) = 20 - 12x - 0,4x^2$;

4) $f(x) = 3x^2 + 7x$.

1) $f(x) = x^2 + 4x - 16$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. В данном случае коэффициенты равны $a=1$, $b=4$, $c=-16$.

Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_v = f(x_v) = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 16 = 4 - 8 - 16 = -20$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -20)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_v = -20$. Таким образом, область значений функции — это все числа, не меньшие -20. Область значений $E(f) = [-20, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее.

• Промежуток убывания: $(-\infty, -2]$.
• Промежуток возрастания: $[-2, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-20, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{7}x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция, где $a=-\frac{1}{7}$, $b=2$, $c=3$.

Так как коэффициент $a=-\frac{1}{7} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{7})} = -\frac{2}{-\frac{2}{7}} = 7$.

$y_v = f(x_v) = f(7) = -\frac{1}{7}(7)^2 + 2(7) + 3 = -7 + 14 + 3 = 10$.

Вершина параболы находится в точке $(7, 10)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно ординате вершины $y_v = 10$. Таким образом, область значений функции — это все числа, не большие 10. Область значений $E(f) = (-\infty, 10]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее.

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 7]$.
• Промежуток убывания: $[7, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 10]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 7]$ и убывает на промежутке $[7, +\infty)$.

3) $f(x) = 20 - 12x - 0,4x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,4x^2 - 12x + 20$. Это квадратичная функция, где $a=-0,4$, $b=-12$, $c=20$.

Так как коэффициент $a=-0,4 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума в вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-0,4)} = \frac{12}{-0,8} = -15$.

$y_v = f(x_v) = f(-15) = -0,4(-15)^2 - 12(-15) + 20 = -0,4 \cdot 225 + 180 + 20 = -90 + 200 = 110$.

Вершина параболы находится в точке $(-15, 110)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно $y_v = 110$. Область значений $E(f) = (-\infty, 110]$.

Промежутки возрастания и убывания:

• Промежуток возрастания: $(-\infty, -15]$.
• Промежуток убывания: $[-15, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 110]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -15]$ и убывает на промежутке $[-15, +\infty)$.

4) $f(x) = 3x^2 + 7x$

Это квадратичная функция, где $a=3$, $b=7$, $c=0$.

Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума в вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{6}$.

$y_v = f(x_v) = f(-\frac{7}{6}) = 3(-\frac{7}{6})^2 + 7(-\frac{7}{6}) = 3 \cdot \frac{49}{36} - \frac{49}{6} = \frac{49}{12} - \frac{98}{12} = -\frac{49}{12}$.

Вершина параболы находится в точке $(-\frac{7}{6}, -\frac{49}{12})$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно $y_v = -\frac{49}{12}$. Область значений $E(f) = [-\frac{49}{12}, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:

• Промежуток убывания: $(-\infty, -\frac{7}{6}]$.
• Промежуток возрастания: $[-\frac{7}{6}, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-\frac{49}{12}, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-\frac{7}{6}, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{7}{6}]$.

96. Постройте график функции:

1) $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4, \\ x^2 + 2x - 3, & \text{если } -4 < x < 2, \\ 5, & \text{если } x \ge 2; \end{cases}$

2) $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le -2, \\ 2x - x^2, & \text{если } -2 < x \le 3, \\ -2, & \text{если } x > 3. \end{cases}$

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} -2x - 3, & \text{если } x \le -4 \\ x^2 + 2x - 3, & \text{если } -4 < x < 2 \\ 5, & \text{если } x \ge 2 \end{cases}$ рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

На интервале $x \le -4$, функция задается формулой $f(x) = -2x - 3$. Это линейная функция, графиком которой является прямая. Поскольку мы рассматриваем только $x \le -4$, то на графике это будет луч. Для построения луча найдем координаты двух точек.
В граничной точке $x = -4$, значение функции $f(-4) = -2(-4) - 3 = 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку из этого интервала, например $x = -5$. Значение функции $f(-5) = -2(-5) - 3 = 10 - 3 = 7$. Точка $(-5, 7)$.
Таким образом, строим луч, выходящий из точки $(-4, 5)$ и проходящий через точку $(-5, 7)$.

На интервале $-4 < x < 2$, функция задается формулой $f(x) = x^2 + 2x - 3$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен).
Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1$.
$y_0 = f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$.
Вершина параболы находится в точке $(-1, -4)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу.
Найдем значения на границах интервала. Так как неравенства строгие, эти точки будут "выколотыми":
При $x \to -4$, $f(x) \to (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5$. Точка $(-4, 5)$.
При $x \to 2$, $f(x) \to 2^2 + 2(2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$. Точка $(2, 5)$.
Найдем также нули функции: $x^2 + 2x - 3 = 0 \implies (x+3)(x-1) = 0$. Корни $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$. Обе точки принадлежат интервалу $(-4, 2)$.
Строим дугу параболы с вершиной в $(-1, -4)$ и концами в выколотых точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$.

На интервале $x \ge 2$, функция задается формулой $f(x) = 5$. Это константа, ее график — горизонтальная прямая. Поскольку $x \ge 2$, на графике это будет луч.
Начальная точка луча: $x = 2$, $f(2) = 5$. Точка $(2, 5)$ принадлежит графику.
Строим горизонтальный луч $y=5$, выходящий из точки $(2, 5)$ вправо.

Объединяя все три части, получаем график функции. В точке $x=-4$ конец первого луча $(-4, 5)$ совпадает с началом дуги параболы (выколотая точка $(-4, 5)$). В точке $x=2$ конец дуги параболы (выколотая точка $(2, 5)$) совпадает с началом второго луча $(2, 5)$. Следовательно, функция непрерывна на всей числовой оси.
Ответ: График функции состоит из трех частей. На интервале $(-\infty, -4]$ это луч $y=-2x-3$, выходящий из точки $(-4, 5)$. На интервале $(-4, 2)$ это дуга параболы $y=x^2+2x-3$ с вершиной в точке $(-1, -4)$ и концами в точках $(-4, 5)$ и $(2, 5)$. На интервале $[2, \infty)$ это горизонтальный луч $y=5$, выходящий из точки $(2, 5)$. Функция является непрерывной.

Для построения графика функции $f(x) = \begin{cases} x + 3, & \text{если } x \le -2 \\ 2x - x^2, & \text{если } -2 < x \le 3 \\ -2, & \text{если } x > 3 \end{cases}$ рассмотрим каждый из трех интервалов отдельно.

На интервале $x \le -2$, функция задается формулой $f(x) = x + 3$. Это линейная функция, ее график — луч.
В граничной точке $x = -2$, значение функции $f(-2) = -2 + 3 = 1$. Точка $(-2, 1)$ принадлежит графику.
Возьмем еще одну точку, например $x = -3$. Значение функции $f(-3) = -3 + 3 = 0$. Точка $(-3, 0)$.
Строим луч, выходящий из точки $(-2, 1)$ и проходящий через точку $(-3, 0)$.

На интервале $-2 < x \le 3$, функция задается формулой $f(x) = 2x - x^2$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вниз (коэффициент при $x^2$ отрицателен).
Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-1)} = 1$.
$y_0 = f(1) = 2(1) - 1^2 = 2 - 1 = 1$.
Вершина параболы находится в точке $(1, 1)$. Эта точка принадлежит рассматриваемому интервалу.
Найдем значения на границах интервала:
При $x \to -2$, $f(x) \to 2(-2) - (-2)^2 = -4 - 4 = -8$. Точка $(-2, -8)$ "выколотая", так как неравенство строгое.
При $x = 3$, $f(3) = 2(3) - 3^2 = 6 - 9 = -3$. Точка $(3, -3)$ принадлежит графику.
Нули функции: $2x - x^2 = 0 \implies x(2-x) = 0$. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Обе точки принадлежат интервалу $(-2, 3]$.
Строим дугу параболы с вершиной в $(1, 1)$, начинающуюся в выколотой точке $(-2, -8)$ и заканчивающуюся в точке $(3, -3)$.

На интервале $x > 3$, функция задается формулой $f(x) = -2$. Это константа, ее график — горизонтальный луч.
Начальная точка луча: при $x \to 3$, $f(x) \to -2$. Точка $(3, -2)$ "выколотая", так как неравенство строгое.
Строим горизонтальный луч $y=-2$, выходящий из выколотой точки $(3, -2)$ вправо.

Объединяя все три части, получаем график функции. В точке $x=-2$ функция имеет разрыв: $f(-2)=1$, а предел справа равен -8. В точке $x=3$ функция также имеет разрыв: $f(3)=-3$, а предел справа равен -2.
Ответ: График функции состоит из трех частей. На интервале $(-\infty, -2]$ это луч $y=x+3$, заканчивающийся в точке $(-2, 1)$. На интервале $(-2, 3]$ это дуга параболы $y=2x-x^2$ с вершиной в точке $(1, 1)$, которая начинается в выколотой точке $(-2, -8)$ и заканчивается в точке $(3, -3)$. На интервале $(3, \infty)$ это горизонтальный луч $y=-2$, начинающийся в выколотой точке $(3, -2)$. Функция имеет разрывы в точках $x=-2$ и $x=3$.

97. Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$, определённой на промежутке $[-4; 3]$. Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Постройте график функции $y = x^2 + 4x - 5$, определённой на промежутке $[-4; 3]$.

1. Данная функция является квадратичной, её график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положительное число), ветви параболы направлены вверх.

2. Найдём координаты вершины параболы $(x_v; y_v)$.
Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$: $x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Подставим $x_v$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины: $y_v = (-2)^2 + 4(-2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
Координаты вершины: $(-2, -9)$.

3. Найдём значения функции на концах заданного промежутка $[-4; 3]$.
При $x = -4$: $y(-4) = (-4)^2 + 4(-4) - 5 = 16 - 16 - 5 = -5$. Координаты левой границы графика: $(-4, -5)$.
При $x = 3$: $y(3) = 3^2 + 4(3) - 5 = 9 + 12 - 5 = 16$. Координаты правой границы графика: $(3, 16)$.

4. Для большей точности построения найдём точки пересечения графика с осями координат.
Точка пересечения с осью OY (при $x=0$): $y(0) = 0^2 + 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
Точки пересечения с осью OX (при $y=0$): $x^2 + 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, корни уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$. В заданный промежуток $[-4; 3]$ входит только корень $x=1$. Точка $(1, 0)$.

5. Составим таблицу ключевых точек для построения:

Построив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавной кривой, мы получим график функции на заданном промежутке.

Ответ: График функции на промежутке $[-4; 3]$ является частью параболы, ограниченной точками $(-4, -5)$ и $(3, 16)$, с вершиной в точке $(-2, -9)$.

Пользуясь построенным графиком, найдите область значений данной функции.

Область значений функции $E(y)$ — это множество всех значений, которые принимает функция на заданном промежутке. На графике это соответствует проекции кривой на ось OY. Для её нахождения необходимо определить наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке $[-4; 3]$.

1. Наименьшее значение функции.
Так как ветви параболы направлены вверх, её наименьшее значение достигается в вершине. Абсцисса вершины $x_v = -2$ принадлежит промежутку $[-4; 3]$. Следовательно, наименьшее значение функции на данном отрезке равно ординате вершины.
$y_{min} = y_v = -9$.

2. Наибольшее значение функции.
Наибольшее значение на отрезке для параболы достигается на одном из его концов. Сравним значения функции на концах промежутка:
$y(-4) = -5$
$y(3) = 16$
Сравнивая эти значения, находим, что наибольшее значение функции равно 16.
$y_{max} = 16$.

Таким образом, функция на промежутке $[-4; 3]$ принимает все значения от $-9$ до $16$ включительно.

Ответ: Область значений функции: $E(y) = [-9; 16]$.

98. Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ на промежутке:

1) $[-4; 6]$; 2) $[-7; 1]$; 3) $[4; 10]$.

Данная функция $y = 3x^2 - 12x + 1$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 3) положителен. Следовательно, своего наименьшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = 3$, $b = -12$, $c = 1$.

$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем значение функции в этой точке (ординату вершины):

$y_0 = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -11)$.

Для нахождения наименьшего значения функции на замкнутом промежутке необходимо вычислить значения функции на концах этого промежутка и в точке минимума (вершине), если она принадлежит этому промежутку, а затем выбрать наименьшее из полученных значений.

1) на промежутке $[-4; 6]$

Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит данному промежутку, так как $-4 \le 2 \le 6$. Значит, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в вершине. Для полной проверки вычислим также значения на концах промежутка.

$y(-4) = 3(-4)^2 - 12(-4) + 1 = 3 \cdot 16 + 48 + 1 = 48 + 48 + 1 = 97$.

$y(6) = 3(6)^2 - 12(6) + 1 = 3 \cdot 36 - 72 + 1 = 108 - 72 + 1 = 37$.

$y(2) = -11$.

Сравнивая значения $97$, $37$ и $-11$, получаем, что наименьшее значение равно $-11$.

Ответ: -11.

2) на промежутке $[-7; 1]$

Точка минимума $x_0 = 2$ не принадлежит данному промежутку. На отрезке $[-7; 1]$ функция монотонно убывает, так как этот отрезок целиком лежит левее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце промежутка, в точке $x=1$.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(-7) = 3(-7)^2 - 12(-7) + 1 = 3 \cdot 49 + 84 + 1 = 147 + 84 + 1 = 232$.

$y(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$.

Наименьшее из этих двух значений равно $-8$.

Ответ: -8.

3) на промежутке $[4; 10]$

Точка минимума $x_0 = 2$ не принадлежит данному промежутку. На отрезке $[4; 10]$ функция монотонно возрастает, так как этот отрезок целиком лежит правее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, в точке $x=4$.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 3 \cdot 16 - 48 + 1 = 48 - 48 + 1 = 1$.

$y(10) = 3(10)^2 - 12(10) + 1 = 3 \cdot 100 - 120 + 1 = 300 - 120 + 1 = 181$.

Наименьшее из этих двух значений равно $1$.

Ответ: 1.

99. При каких значениях $p$ и $q$ график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через точки $A(1; -4)$ и $B(-2; 5)$?

Поскольку график функции $y = x^2 + px + q$ проходит через указанные точки, их координаты должны удовлетворять уравнению функции. Мы можем подставить координаты точек $A(1; -4)$ и $B(-2; 5)$ в уравнение, чтобы составить систему из двух уравнений с двумя неизвестными $p$ и $q$.

Подстановка координат точки A(1; -4)

Подставим $x = 1$ и $y = -4$ в уравнение $y = x^2 + px + q$:
$-4 = (1)^2 + p \cdot 1 + q$
$-4 = 1 + p + q$
$p + q = -5$

Подстановка координат точки B(-2; 5)

Подставим $x = -2$ и $y = 5$ в то же уравнение:
$5 = (-2)^2 + p \cdot (-2) + q$
$5 = 4 - 2p + q$
$-2p + q = 1$

Решение системы уравнений

Теперь у нас есть система двух линейных уравнений:
$ \begin{cases} p + q = -5 \\ -2p + q = 1 \end{cases} $
Решим эту систему. Удобно вычесть второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $q$:
$(p + q) - (-2p + q) = -5 - 1$
$p + q + 2p - q = -6$
$3p = -6$
$p = \frac{-6}{3}$
$p = -2$

Теперь, зная значение $p$, найдем $q$, подставив $p = -2$ в первое уравнение системы ($p + q = -5$):
$-2 + q = -5$
$q = -5 + 2$
$q = -3$

Таким образом, искомые значения параметров: $p = -2$ и $q = -3$.

Ответ: $p = -2$, $q = -3$.

100. При каких значениях $a$ и $b$ парабола $y = ax^2 + bx - 3$ проходит через точки $A(-2; 7)$ и $B(3; -6)$?

Поскольку парабола $y = ax^2 + bx - 3$ проходит через точки A(-2; 7) и B(3; -6), координаты каждой из этих точек должны удовлетворять уравнению параболы. Мы можем составить систему уравнений, подставив координаты точек в уравнение.

1. Подставим координаты точки A(-2; 7) в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$:
$7 = a \cdot (-2)^2 + b \cdot (-2) - 3$
$7 = 4a - 2b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть:
$7 + 3 = 4a - 2b$
$10 = 4a - 2b$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 2:
$5 = 2a - b$

2. Подставим координаты точки B(3; -6) в уравнение $y = ax^2 + bx - 3$:
$-6 = a \cdot (3)^2 + b \cdot (3) - 3$
$-6 = 9a + 3b - 3$
Перенесем свободный член в левую часть:
$-6 + 3 = 9a + 3b$
$-3 = 9a + 3b$
Для упрощения разделим обе части уравнения на 3:
$-1 = 3a + b$

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a$ и $b$:
$ \begin{cases} 2a - b = 5 \\ 3a + b = -1 \end{cases} $
Решим эту систему методом алгебраического сложения. Сложим первое уравнение со вторым:
$(2a - b) + (3a + b) = 5 + (-1)$
$5a = 4$
$a = \frac{4}{5}$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в любое из уравнений системы, чтобы найти $b$. Удобнее использовать второе уравнение $3a + b = -1$:
$3 \cdot \left(\frac{4}{5}\right) + b = -1$
$\frac{12}{5} + b = -1$
$b = -1 - \frac{12}{5}$
$b = -\frac{5}{5} - \frac{12}{5}$
$b = -\frac{17}{5}$

Таким образом, искомые значения коэффициентов равны $a = \frac{4}{5}$ и $b = -\frac{17}{5}$.

Ответ: $a = \frac{4}{5}$, $b = -\frac{17}{5}$.