Номер 95, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

95. Найдите область значений и промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x) = x^2 + 4x - 16$;

2) $f(x) = -\frac{1}{7}x^2 + 2x + 3$;

3) $f(x) = 20 - 12x - 0,4x^2$;

4) $f(x) = 3x^2 + 7x$.

1) $f(x) = x^2 + 4x - 16$

Это квадратичная функция вида $f(x) = ax^2 + bx + c$, график которой — парабола. В данном случае коэффициенты равны $a=1$, $b=4$, $c=-16$.

Так как коэффициент $a=1 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Это означает, что функция имеет точку минимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_v = f(x_v) = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) - 16 = 4 - 8 - 16 = -20$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -20)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно ординате вершины $y_v = -20$. Таким образом, область значений функции — это все числа, не меньшие -20. Область значений $E(f) = [-20, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает справа от нее.

• Промежуток убывания: $(-\infty, -2]$.
• Промежуток возрастания: $[-2, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-20, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-2, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.

2) $f(x) = -\frac{1}{7}x^2 + 2x + 3$

Это квадратичная функция, где $a=-\frac{1}{7}$, $b=2$, $c=3$.

Так как коэффициент $a=-\frac{1}{7} < 0$, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет точку максимума в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{7})} = -\frac{2}{-\frac{2}{7}} = 7$.

$y_v = f(x_v) = f(7) = -\frac{1}{7}(7)^2 + 2(7) + 3 = -7 + 14 + 3 = 10$.

Вершина параболы находится в точке $(7, 10)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно ординате вершины $y_v = 10$. Таким образом, область значений функции — это все числа, не большие 10. Область значений $E(f) = (-\infty, 10]$.

Промежутки возрастания и убывания: Функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа от нее.

• Промежуток возрастания: $(-\infty, 7]$.
• Промежуток убывания: $[7, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 10]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, 7]$ и убывает на промежутке $[7, +\infty)$.

3) $f(x) = 20 - 12x - 0,4x^2$

Перепишем функцию в стандартном виде: $f(x) = -0,4x^2 - 12x + 20$. Это квадратичная функция, где $a=-0,4$, $b=-12$, $c=20$.

Так как коэффициент $a=-0,4 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Функция имеет точку максимума в вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot (-0,4)} = \frac{12}{-0,8} = -15$.

$y_v = f(x_v) = f(-15) = -0,4(-15)^2 - 12(-15) + 20 = -0,4 \cdot 225 + 180 + 20 = -90 + 200 = 110$.

Вершина параболы находится в точке $(-15, 110)$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции равно $y_v = 110$. Область значений $E(f) = (-\infty, 110]$.

Промежутки возрастания и убывания:

• Промежуток возрастания: $(-\infty, -15]$.
• Промежуток убывания: $[-15, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = (-\infty, 110]$; функция возрастает на промежутке $(-\infty, -15]$ и убывает на промежутке $[-15, +\infty)$.

4) $f(x) = 3x^2 + 7x$

Это квадратичная функция, где $a=3$, $b=7$, $c=0$.

Так как коэффициент $a=3 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция имеет точку минимума в вершине.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{7}{2 \cdot 3} = -\frac{7}{6}$.

$y_v = f(x_v) = f(-\frac{7}{6}) = 3(-\frac{7}{6})^2 + 7(-\frac{7}{6}) = 3 \cdot \frac{49}{36} - \frac{49}{6} = \frac{49}{12} - \frac{98}{12} = -\frac{49}{12}$.

Вершина параболы находится в точке $(-\frac{7}{6}, -\frac{49}{12})$.

Область значений: Поскольку ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции равно $y_v = -\frac{49}{12}$. Область значений $E(f) = [-\frac{49}{12}, +\infty)$.

Промежутки возрастания и убывания:

• Промежуток убывания: $(-\infty, -\frac{7}{6}]$.
• Промежуток возрастания: $[-\frac{7}{6}, +\infty)$.

Ответ: область значений $E(f) = [-\frac{49}{12}, +\infty)$; функция возрастает на промежутке $[-\frac{7}{6}, +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty, -\frac{7}{6}]$.