Номер 94, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

94. Найдите координаты точки параболы $y = -x^2 + 5x + 5$, у которой:

1) абсцисса и ордината равны;

2) сумма абсциссы и ординаты равна 13.

1) абсцисса и ордината равны;

Дано уравнение параболы $y = -x^2 + 5x + 5$. Координаты искомой точки обозначим как $(x; y)$. Абсцисса точки — это координата $x$, а ордината — это координата $y$. По условию, абсцисса и ордината равны, то есть $y = x$. Чтобы найти координаты точки, которая принадлежит параболе и удовлетворяет этому условию, подставим $y = x$ в уравнение параболы:$x = -x^2 + 5x + 5$Перенесём все члены уравнения в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:$x^2 + x - 5x - 5 = 0$$x^2 - 4x - 5 = 0$Решим полученное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 4, а их произведение равно -5. Легко подобрать корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$. Так как по условию $y = x$, то для каждого найденного значения абсциссы находим соответствующую ординату:Если $x_1 = 5$, то $y_1 = 5$. Координаты первой точки: $(5; 5)$. Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1$. Координаты второй точки: $(-1; -1)$.

Ответ: $(5; 5)$ и $(-1; -1)$.

2) сумма абсциссы и ординаты равна 13.

По условию, сумма абсциссы и ординаты равна 13, что можно записать в виде уравнения: $x + y = 13$. Из этого уравнения выразим $y$: $y = 13 - x$. Теперь подставим это выражение для $y$ в уравнение параболы $y = -x^2 + 5x + 5$:$13 - x = -x^2 + 5x + 5$Перенесём все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:$x^2 - 5x - x + 13 - 5 = 0$$x^2 - 6x + 8 = 0$Решим это уравнение. По теореме Виета: сумма корней равна 6, а их произведение равно 8. Корнями являются $x_1 = 2$ и $x_2 = 4$. Теперь найдём соответствующие ординаты, используя соотношение $y = 13 - x$:Если $x_1 = 2$, то $y_1 = 13 - 2 = 11$. Координаты первой точки: $(2; 11)$. Если $x_2 = 4$, то $y_2 = 13 - 4 = 9$. Координаты второй точки: $(4; 9)$.

Ответ: $(2; 11)$ и $(4; 9)$.