Номер 93, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

93. Построив в одной системе координат графики функций $y = \frac{8}{x}$ и $y = -x^2 + 6x - 5$, определите количество корней уравнения $-x^2 + 6x - 5 = \frac{8}{x}$.

Задача состоит в том, чтобы определить количество решений уравнения $-x^2 + 6x - 5 = \frac{8}{x}$. Количество решений этого уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций $y = -x^2 + 6x - 5$ и $y = \frac{8}{x}$. Для этого построим оба графика в одной системе координат.

Построение графика функции $y = \frac{8}{x}$

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k=8 > 0$, ветви гиперболы расположены в первой и третьей координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Составим таблицу ключевых точек для построения графика:

Построение графика функции $y = -x^2 + 6x - 5$

Графиком этой функции является парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a=-1$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{6}{2 \cdot (-1)} = 3$

Подставим $x_в$ в уравнение, чтобы найти $y_в$:

$y_в = -(3)^2 + 6(3) - 5 = -9 + 18 - 5 = 4$

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3; 4)$.

Найдем точки пересечения параболы с осями координат:

• Пересечение с осью $Oy$ (при $x=0$):
  $y = -0^2 + 6 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0; -5)$.
• Пересечение с осью $Ox$ (при $y=0$):
  $-x^2 + 6x - 5 = 0$
  $x^2 - 6x + 5 = 0$
  По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Составим таблицу точек для построения параболы:

Определение количества корней уравнения

Построив графики функций в одной системе координат, мы можем определить количество их точек пересечения.

Анализ графиков показывает, что они пересекаются в трех точках:

• Одна точка пересечения находится в III четверти, где $x < 0$.
• Две точки пересечения находятся в I четверти, где $x > 0$.

Следовательно, уравнение имеет три различных корня.

Ответ: 3