Номер 98, страница 20 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

98. Найдите наименьшее значение функции $y = 3x^2 - 12x + 1$ на промежутке:

1) $[-4; 6]$; 2) $[-7; 1]$; 3) $[4; 10]$.

Данная функция $y = 3x^2 - 12x + 1$ является квадратичной, ее график — парабола с ветвями, направленными вверх, так как коэффициент при $x^2$ (равный 3) положителен. Следовательно, своего наименьшего значения функция достигает в вершине параболы.

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины $x_0$ вычисляется по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$.

Для нашей функции $a = 3$, $b = -12$, $c = 1$.

$x_0 = -\frac{-12}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Найдем значение функции в этой точке (ординату вершины):

$y_0 = y(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 1 = 3 \cdot 4 - 24 + 1 = 12 - 24 + 1 = -11$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(2; -11)$.

Для нахождения наименьшего значения функции на замкнутом промежутке необходимо вычислить значения функции на концах этого промежутка и в точке минимума (вершине), если она принадлежит этому промежутку, а затем выбрать наименьшее из полученных значений.

1) на промежутке $[-4; 6]$

Точка минимума $x_0 = 2$ принадлежит данному промежутку, так как $-4 \le 2 \le 6$. Значит, наименьшее значение функции на этом промежутке будет равно значению в вершине. Для полной проверки вычислим также значения на концах промежутка.

$y(-4) = 3(-4)^2 - 12(-4) + 1 = 3 \cdot 16 + 48 + 1 = 48 + 48 + 1 = 97$.

$y(6) = 3(6)^2 - 12(6) + 1 = 3 \cdot 36 - 72 + 1 = 108 - 72 + 1 = 37$.

$y(2) = -11$.

Сравнивая значения $97$, $37$ и $-11$, получаем, что наименьшее значение равно $-11$.

Ответ: -11.

2) на промежутке $[-7; 1]$

Точка минимума $x_0 = 2$ не принадлежит данному промежутку. На отрезке $[-7; 1]$ функция монотонно убывает, так как этот отрезок целиком лежит левее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение достигается на правом конце промежутка, в точке $x=1$.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(-7) = 3(-7)^2 - 12(-7) + 1 = 3 \cdot 49 + 84 + 1 = 147 + 84 + 1 = 232$.

$y(1) = 3(1)^2 - 12(1) + 1 = 3 - 12 + 1 = -8$.

Наименьшее из этих двух значений равно $-8$.

Ответ: -8.

3) на промежутке $[4; 10]$

Точка минимума $x_0 = 2$ не принадлежит данному промежутку. На отрезке $[4; 10]$ функция монотонно возрастает, так как этот отрезок целиком лежит правее вершины параболы. Следовательно, наименьшее значение достигается на левом конце промежутка, в точке $x=4$.

Вычислим значения функции на концах промежутка:

$y(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 1 = 3 \cdot 16 - 48 + 1 = 48 - 48 + 1 = 1$.

$y(10) = 3(10)^2 - 12(10) + 1 = 3 \cdot 100 - 120 + 1 = 300 - 120 + 1 = 181$.

Наименьшее из этих двух значений равно $1$.

Ответ: 1.