Номер 105, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

105. При каких значениях $a$ функция $y = 4x^2 + 5x - a$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Дана квадратичная функция $y = 4x^2 + 5x - a$. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы функция принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$ (то есть $y > 0$ для любого $x$), ее график должен быть расположен полностью выше оси абсцисс ($Ox$).

Для параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, это возможно при одновременном выполнении двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент должен быть положительным ($A > 0$).
2. Парабола не должна иметь точек пересечения или касания с осью $Ox$. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим эти условия для нашей функции $y = 4x^2 + 5x - a$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 4. Так как $4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Первое условие выполнено.

2. Теперь найдем дискриминант $D$ для квадратного трехчлена $4x^2 + 5x - a$. Коэффициенты здесь: $A=4$, $B=5$, $C=-a$.
Используем формулу дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-a) = 25 + 16a$.

Применим второе условие $D < 0$:
$25 + 16a < 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $a$:
$16a < -25$
$a < -\frac{25}{16}$

Таким образом, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, если $a < -\frac{25}{16}$.

Ответ: $a < -\frac{25}{16}$