Номер 106, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a - 1)x^2 + 6x + 20$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a - 1)x^2 + 6x + 20$ принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы график этой функции (парабола) полностью находился выше оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:
1. Старший коэффициент при $x^2$ должен быть положительным, чтобы ветви параболы были направлены вверх.
$a - 1 > 0$
$a > 1$
2. Дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $(a - 1)x^2 + 6x + 20 = 0$ должен быть отрицательным, чтобы у параболы не было точек пересечения с осью абсцисс.
Найдем дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot (a - 1) \cdot 20 = 36 - 80(a - 1) = 36 - 80a + 80 = 116 - 80a$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$116 - 80a < 0$
$116 < 80a$
$a > \frac{116}{80}$
Сократим дробь на 4:
$a > \frac{29}{20}$
$a > 1.45$
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому мы должны найти решение системы неравенств:
$\begin{cases} a > 1 \\ a > 1.45 \end{cases}$
Общим решением системы является неравенство $a > 1.45$.
Необходимо также рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$. В этом случае функция становится линейной: $y = 6x + 20$. Эта функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому данный случай не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$ при $a > 1.45$.
Ответ: $a > 1.45$