Страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

101. График квадратичной функции — парабола с вершиной в начале координат, проходящая через точку (-8; 16). Задайте эту функцию формулой.

Общий вид квадратичной функции, график которой представляет собой параболу с вершиной в точке $(h; k)$, задается формулой $y = a(x - h)^2 + k$.

По условию задачи, вершина параболы находится в начале координат, то есть в точке $(0; 0)$. Это означает, что $h = 0$ и $k = 0$. Подставив эти значения в общую формулу, мы получим упрощенный вид уравнения для нашей параболы:

$y = a(x - 0)^2 + 0$

$y = ax^2$

Также известно, что парабола проходит через точку с координатами $(-8; 16)$. Это значит, что при подстановке $x = -8$ в уравнение, мы должны получить $y = 16$. Используем это условие для нахождения коэффициента $a$:

$16 = a \cdot (-8)^2$

$16 = a \cdot 64$

Теперь решим это уравнение относительно $a$:

$a = \frac{16}{64}$

Сократим дробь:

$a = \frac{1}{4}$

Теперь, зная значение коэффициента $a$, мы можем записать итоговую формулу для данной квадратичной функции, подставив $a = \frac{1}{4}$ в уравнение $y = ax^2$:

$y = \frac{1}{4}x^2$

Ответ: $y = \frac{1}{4}x^2$

102. График квадратичной функции — парабола с вершиной в точке $A(0; -5)$, проходящая через точку $B(4; 27)$. Задайте эту функцию формулой.

Уравнение квадратичной функции, график которой — парабола с вершиной в точке с координатами $(x_v, y_v)$, можно записать в виде: $y = a(x - x_v)^2 + y_v$.

По условию задачи, вершина параболы находится в точке A(0; –5). Это значит, что $x_v = 0$ и $y_v = -5$. Подставим эти значения в общую формулу:

$y = a(x - 0)^2 + (-5)$

Упростив, получаем:

$y = ax^2 - 5$

Нам также известно, что парабола проходит через точку B(4; 27). Это значит, что если подставить координаты этой точки в уравнение параболы, мы получим верное равенство. Используем это для нахождения коэффициента $a$.

Подставляем $x = 4$ и $y = 27$ в уравнение $y = ax^2 - 5$:

$27 = a \cdot (4)^2 - 5$

$27 = a \cdot 16 - 5$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:

$27 + 5 = 16a$

$32 = 16a$

$a = \frac{32}{16}$

$a = 2$

Теперь, когда мы нашли значение $a$, подставим его в уравнение $y = ax^2 - 5$, чтобы получить окончательную формулу функции:

$y = 2x^2 - 5$

Ответ: $y = 2x^2 - 5$

103. Пусть D — дискриминант квадратного трёхчлена $ax^2 + bx + c$. Изобразите схематически график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$, если:

1) $a > 0, D > 0, c > 0, -\frac{b}{2a} < 0;$

2) $a < 0, D = 0, -\frac{b}{2a} > 0;$

3) $a > 0, D < 0, -\frac{b}{2a} > 0.$

Для построения схематического графика квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ проанализируем заданные условия для каждого случая.

Основные свойства графика (параболы) определяются параметрами $a$, $c$ и дискриминантом $D$:

• Знак коэффициента $a$ определяет направление ветвей параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх; если $a < 0$, ветви направлены вниз.
• Знак дискриминанта $D = b^2 - 4ac$ определяет количество точек пересечения с осью абсцисс (Ox): если $D > 0$, то две точки пересечения; если $D = 0$, то одна точка касания; если $D < 0$, то точек пересечения нет.
• Коэффициент $c$ равен значению функции при $x=0$, то есть $y(0) = c$. Это точка пересечения параболы с осью ординат (Oy).
• Абсцисса вершины параболы вычисляется по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Её знак определяет положение вершины относительно оси Oy.

Анализ условий:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
• $D > 0$: парабола пересекает ось Ox в двух различных точках.
• $c > 0$: парабола пересекает ось Oy в точке выше начала координат.
• $x_v = -\frac{b}{2a} < 0$: вершина параболы находится в левой полуплоскости (слева от оси Oy).

Из того, что ветви направлены вверх, а парабола пересекает ось Ox, следует, что ордината вершины $y_v$ отрицательна (так как $y_v = -\frac{D}{4a}$ и $D > 0, a > 0$). Так как абсцисса вершины $x_v < 0$ и ордината вершины $y_v < 0$, вершина параболы находится в III координатной четверти.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вверх, вершина которой находится в III четверти. Она пересекает ось Ox в двух точках (обе с отрицательными абсциссами) и ось Oy в точке с положительной ординатой.

Анализ условий:

• $a < 0$: ветви параболы направлены вниз.
• $D = 0$: парабола касается оси Ox в одной точке. Эта точка является вершиной параболы.
• $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$: вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Поскольку вершина лежит на оси Ox ($D=0$ означает, что $y_v = 0$) и её абсцисса $x_v > 0$, то вершина находится на положительной части оси Ox. Парабола с ветвями вниз касается оси Ox в этой точке. Точка пересечения с осью Oy ($c = y(0)$) будет иметь отрицательную ординату, так как для параболы с вершиной в $(x_v, 0)$ имеем $y=a(x-x_v)^2$. Тогда $c=y(0)=a(-x_v)^2 = ax_v^2$. Учитывая, что $a<0$ и $x_v^2>0$, получаем $c < 0$.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вниз, вершина которой лежит на положительной полуоси Ox. Она касается оси Ox и пересекает ось Oy в точке с отрицательной ординатой.

Анализ условий:

• $a > 0$: ветви параболы направлены вверх.
• $D < 0$: парабола не пересекает ось Ox.
• $x_v = -\frac{b}{2a} > 0$: вершина параболы находится в правой полуплоскости (справа от оси Oy).

Так как ветви направлены вверх и парабола не пересекает ось Ox, вся парабола расположена выше оси Ox. Вершина параболы, являющаяся её низшей точкой, также находится выше оси Ox (ордината вершины $y_v = -\frac{D}{4a} > 0$, так как $D < 0$ и $a > 0$). С учетом того, что $x_v > 0$, вершина параболы находится в I координатной четверти. Точка пересечения с осью Oy ($c = y(0)$) будет иметь положительную ординату, поскольку вся парабола находится над осью Ox.

Схематический график:

Ответ: Парабола с ветвями вверх, полностью расположенная в верхней полуплоскости (над осью Ox). Её вершина находится в I четверти.

104. При каком значении $a$ график квадратичной функции $y = ax^2 - (a - 3)x + 1$ имеет с осью абсцисс одну общую точку?

График квадратичной функции имеет одну общую точку с осью абсцисс (осью Ox) в том случае, если соответствующее квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет ровно один действительный корень. Это условие выполняется, когда дискриминант уравнения равен нулю ($D=0$).

Заданная функция: $y = ax^2 - (a - 3)x + 1$.

Чтобы найти точки пересечения графика с осью абсцисс, приравняем $y$ к нулю:$ax^2 - (a - 3)x + 1 = 0$.

По условию, функция является квадратичной, что означает, что старший коэффициент $a$ не может быть равен нулю, то есть $a \neq 0$.

Найдем дискриминант этого уравнения, где коэффициенты равны $A=a$, $B = -(a-3)$ и $C=1$. Формула дискриминанта: $D = B^2 - 4AC$.

Подставим коэффициенты и приравняем дискриминант к нулю:$D = (-(a - 3))^2 - 4 \cdot a \cdot 1 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $a$:$(a - 3)^2 - 4a = 0$
$a^2 - 6a + 9 - 4a = 0$
$a^2 - 10a + 9 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Найдем его корни. По теореме Виета, сумма корней равна 10, а их произведение равно 9. Этим условиям удовлетворяют числа 1 и 9. Таким образом, получаем два возможных значения для $a$:$a_1 = 1$
$a_2 = 9$

Оба найденных значения удовлетворяют начальному условию $a \neq 0$.

Ответ: при $a=1$ или $a=9$.

105. При каких значениях $a$ функция $y = 4x^2 + 5x - a$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Дана квадратичная функция $y = 4x^2 + 5x - a$. Графиком этой функции является парабола.

Чтобы функция принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$ (то есть $y > 0$ для любого $x$), ее график должен быть расположен полностью выше оси абсцисс ($Ox$).

Для параболы, заданной уравнением $y = Ax^2 + Bx + C$, это возможно при одновременном выполнении двух условий:
1. Ветви параболы должны быть направлены вверх. Это означает, что старший коэффициент должен быть положительным ($A > 0$).
2. Парабола не должна иметь точек пересечения или касания с осью $Ox$. Это означает, что соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ не должно иметь действительных корней, то есть его дискриминант должен быть отрицательным ($D < 0$).

Проверим эти условия для нашей функции $y = 4x^2 + 5x - a$.

1. Коэффициент при $x^2$ равен 4. Так как $4 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Первое условие выполнено.

2. Теперь найдем дискриминант $D$ для квадратного трехчлена $4x^2 + 5x - a$. Коэффициенты здесь: $A=4$, $B=5$, $C=-a$.
Используем формулу дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:
$D = 5^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-a) = 25 + 16a$.

Применим второе условие $D < 0$:
$25 + 16a < 0$

Решим полученное линейное неравенство относительно $a$:
$16a < -25$
$a < -\frac{25}{16}$

Таким образом, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$, если $a < -\frac{25}{16}$.

Ответ: $a < -\frac{25}{16}$

106. При каких значениях $a$ функция $y = (a - 1)x^2 + 6x + 20$ принимает положительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a - 1)x^2 + 6x + 20$ принимала положительные значения при всех действительных значениях $x$, необходимо, чтобы график этой функции (парабола) полностью находился выше оси абсцисс. Это возможно при одновременном выполнении двух условий:
1. Старший коэффициент при $x^2$ должен быть положительным, чтобы ветви параболы были направлены вверх.
$a - 1 > 0$
$a > 1$
2. Дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $(a - 1)x^2 + 6x + 20 = 0$ должен быть отрицательным, чтобы у параболы не было точек пересечения с осью абсцисс.
Найдем дискриминант:
$D = 6^2 - 4 \cdot (a - 1) \cdot 20 = 36 - 80(a - 1) = 36 - 80a + 80 = 116 - 80a$
Теперь решим неравенство $D < 0$:
$116 - 80a < 0$
$116 < 80a$
$a > \frac{116}{80}$
Сократим дробь на 4:
$a > \frac{29}{20}$
$a > 1.45$
Оба условия должны выполняться одновременно, поэтому мы должны найти решение системы неравенств:
$\begin{cases} a > 1 \\ a > 1.45 \end{cases}$
Общим решением системы является неравенство $a > 1.45$.
Необходимо также рассмотреть случай, когда коэффициент при $x^2$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0$, откуда $a = 1$. В этом случае функция становится линейной: $y = 6x + 20$. Эта функция принимает как положительные, так и отрицательные значения, поэтому данный случай не удовлетворяет условию задачи.
Следовательно, функция принимает положительные значения при всех действительных $x$ при $a > 1.45$.
Ответ: $a > 1.45$

107. При каких значениях $a$ функция $y = (a+2)x^2 + 4x - 5$ принимает неположительные значения при всех действительных значениях $x$?

Для того чтобы функция $y = (a + 2)x^2 + 4x - 5$ принимала неположительные значения (то есть $y \le 0$) при всех действительных значениях $x$, необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Это происходит, когда $a + 2 = 0$, то есть при $a = -2$. В этом случае функция становится линейной: $y = 4x - 5$. Графиком этой функции является прямая линия, которая не параллельна оси абсцисс. Такая функция принимает как положительные, так и отрицательные значения. Например, при $x=2$ значение функции $y = 4(2) - 5 = 3$, что больше нуля. Следовательно, значение $a = -2$ не удовлетворяет условию задачи.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ не равен нулю.

Это происходит, когда $a + 2 \neq 0$. В этом случае функция является квадратичной, и её график — парабола. Чтобы парабола целиком располагалась не выше оси абсцисс ($y \le 0$), должны одновременно выполняться два условия:

1. Ветви параболы должны быть направлены вниз. Это означает, что коэффициент при $x^2$ должен быть отрицательным:$a + 2 < 0 \implies a < -2$.

2. Парабола должна иметь не более одной точки пересечения с осью $x$ (то есть касаться её или не пересекать вовсе). Это означает, что дискриминант $D$ соответствующего квадратного уравнения $(a + 2)x^2 + 4x - 5 = 0$ должен быть меньше или равен нулю ($D \le 0$).

Вычислим дискриминант:$D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (a + 2) \cdot (-5) = 16 + 20(a + 2) = 16 + 20a + 40 = 20a + 56$.

Теперь решим неравенство $D \le 0$:$20a + 56 \le 0$$20a \le -56$$a \le -\frac{56}{20}$$a \le -\frac{14}{5}$$a \le -2.8$.

Для выполнения условий задачи необходимо, чтобы оба неравенства, полученные в этом случае, выполнялись одновременно. Составим систему:$$\begin{cases}a < -2 \\a \le -2.8\end{cases}$$Решением этой системы является пересечение множеств, что даёт $a \le -2.8$.

Объединяя результаты рассмотренных случаев, мы видим, что условие задачи выполняется только при $a \le -2.8$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2.8]$.

108. При каком значении $c$ наибольшее значение функции $y = -2x^2 + 8x + c$ равно $-4$?

Данная функция $y = -2x^2 + 8x + c$ является квадратичной. Ее график — парабола. Поскольку коэффициент при $x^2$ равен -2 (отрицательное число), ветви параболы направлены вниз. Это означает, что функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ для функции вида $y = ax^2 + bx + c$ можно найти по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

$y_v = y(x_v)$

В нашем случае $a = -2$ и $b = 8$. Найдем абсциссу вершины:

$x_v = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = -\frac{8}{-4} = 2$

Наибольшее значение функции достигается при $x = 2$. Это значение равно ординате вершины $y_v$. Подставим $x_v = 2$ в уравнение функции, чтобы найти $y_v$:

$y_v = -2(2)^2 + 8(2) + c$

$y_v = -2 \cdot 4 + 16 + c$

$y_v = -8 + 16 + c$

$y_v = 8 + c$

По условию задачи, наибольшее значение функции равно -4. Следовательно, мы можем приравнять полученное выражение для $y_v$ к -4 и найти $c$:

$8 + c = -4$

$c = -4 - 8$

$c = -12$

Ответ: $c = -12$

109. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы

$y = x^2 + px + q$ находится в точке $(4; 7)$?

Чтобы найти значения $p$ и $q$, при которых вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $(4; 7)$, можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы для координат вершины параболы

Уравнение параболы $y = x^2 + px + q$ соответствует общему виду $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = p$ и $c = q$.

Абсцисса вершины параболы $(x_в)$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Согласно условию, вершина находится в точке $(4; 7)$, следовательно, $x_в = 4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $p$:

$4 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

$4 = -\frac{p}{2}$

Отсюда получаем:

$p = -8$

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 8x + q$. Поскольку точка $(4; 7)$ является вершиной, она принадлежит графику этой функции. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $x = 4$ и $y = 7$ в уравнение, чтобы найти $q$:

$7 = (4)^2 - 8 \cdot 4 + q$

$7 = 16 - 32 + q$

$7 = -16 + q$

$q = 7 + 16 = 23$

Таким образом, мы нашли искомые значения $p=-8$ и $q=23$.

Ответ: $p = -8$, $q = 23$.

Способ 2: Использование вершинной формы уравнения параболы

Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_в; y_в)$ и старшим коэффициентом $a$ можно записать в виде $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Из исходного уравнения $y = x^2 + px + q$ видно, что старший коэффициент $a = 1$. Координаты вершины по условию равны $(x_в; y_в) = (4; 7)$.

Подставим эти значения в вершинную форму:

$y = 1 \cdot (x - 4)^2 + 7$

$y = (x - 4)^2 + 7$

Теперь раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $p$ и $q$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + 7$

$y = x^2 - 8x + 16 + 7$

$y = x^2 - 8x + 23$

Сравнивая полученное уравнение с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, путем сопоставления коэффициентов при одинаковых степенях $x$, получаем:

$p = -8$

$q = 23$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $p = -8$, $q = 23$.

110. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $M(2; 1)$ и проходит через точку $K(-1; 5)$. Найдите значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением параболы в виде $y = a(x-x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $M(2; 1)$. Следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$y = a(x-2)^2 + 1$

Также известно, что парабола проходит через точку $K(-1; 5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:

$5 = a(-1-2)^2 + 1$

$5 = a(-3)^2 + 1$

$5 = 9a + 1$

$9a = 5 - 1$

$9a = 4$

$a = \frac{4}{9}$

Теперь мы знаем значение коэффициента $a$. Уравнение параболы имеет вид:

$y = \frac{4}{9}(x-2)^2 + 1$

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, приведем это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:

$y = \frac{4}{9}(x^2 - 4x + 4) + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{9} \cdot 4x + \frac{4}{9} \cdot 4 + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{16}{9} + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{16}{9} + \frac{9}{9}$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{25}{9}$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находим значения коэффициентов:

$a = \frac{4}{9}$

$b = -\frac{16}{9}$

$c = \frac{25}{9}$

Ответ: $a = \frac{4}{9}$, $b = -\frac{16}{9}$, $c = \frac{25}{9}$.

111. Постройте график функции:

1) $y = \frac{x}{|x|}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right)$;

2) $y = x^2 + 4|x| + 3$;

3) $y = x^2 - 5x\frac{|x - 2|}{x - 2} - 14$;

4) $y = x^2 - 4|x + 1| + 5x + 4$.

1) $y = \frac{x}{|x|}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right)$

Область определения функции (ОДЗ): $x \neq 0$, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Раскроем модуль $|x|$ для двух случаев:

а) Если $x > 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{x}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 2$.
Это парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot \frac{1}{5}} = \frac{2}{\frac{2}{5}} = 5$. Так как $5 > 0$, вершина принадлежит рассматриваемому промежутку.
$y_v = \frac{1}{5}(5)^2 - 2(5) + 2 = 5 - 10 + 2 = -3$.
Вершина параболы находится в точке $(5, -3)$.
Поскольку $x \neq 0$, найдем предел функции при $x \to 0^+$. $y \to \frac{1}{5}(0)^2 - 2(0) + 2 = 2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, 2)$.

б) Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{x}{-x}\left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = -1 \cdot \left(\frac{1}{5}x^2 - 2x + 2\right) = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 2$.
Это парабола с ветвями, направленными вниз. Найдем координаты ее вершины:
$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{5})} = \frac{2}{\frac{2}{5}} = 5$. Так как $5$ не принадлежит промежутку $x < 0$, на этом промежутке мы строим только часть параболы.
Найдем предел функции при $x \to 0^-$. $y \to -\frac{1}{5}(0)^2 + 2(0) - 2 = -2$. Таким образом, на графике будет выколотая точка $(0, -2)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей. При $x > 0$ это часть параболы $y = \frac{1}{5}x^2 - 2x + 2$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(5, -3)$. При $x < 0$ это часть параболы $y = -\frac{1}{5}x^2 + 2x - 2$ с ветвями вниз. В точке $x=0$ функция не определена, на графике выколотые точки $(0, 2)$ и $(0, -2)$.

2) $y = x^2 + 4|x| + 3$

Заметим, что $x^2 = |x|^2$. Функцию можно переписать в виде $y = |x|^2 + 4|x| + 3$. Это четная функция, так как $y(-x) = |-x|^2 + 4|-x| + 3 = |x|^2 + 4|x| + 3 = y(x)$. График такой функции симметричен относительно оси ординат (оси Oy). Поэтому достаточно построить график для $x \ge 0$ и отразить его симметрично относительно оси Oy.

При $x \ge 0$, $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 4x + 3$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.
Вершина находится в точке $x = -2$, которая не входит в рассматриваемый промежуток $x \ge 0$. На этом промежутке функция является возрастающей.
Найдем значение функции на границе промежутка, в точке $x=0$:
$y(0) = 0^2 + 4(0) + 3 = 3$.
Таким образом, для $x \ge 0$ график представляет собой ветвь параболы, начинающуюся в точке $(0, 3)$ и идущую вверх.

Так как функция четная, для $x < 0$ график будет являться зеркальным отражением построенной части относительно оси Oy.

Ответ: График функции является объединением двух лучей парабол. Так как функция четная ($y(x)=y(-x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. При $x \ge 0$ график совпадает с графиком функции $y = x^2 + 4x + 3$. Это часть параболы с ветвями вверх, начинающаяся в точке $(0, 3)$. При $x < 0$ график совпадает с графиком функции $y = x^2 - 4x + 3$, который симметричен первой части относительно оси Oy. Точка $(0, 3)$ является точкой минимума функции.

3) $y = x^2 - 5x\frac{|x-2|}{x-2} - 14$

Область определения функции (ОДЗ): $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Раскроем модуль $|x-2|$ для двух случаев:

а) Если $x > 2$, то $|x-2| = x-2$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x\frac{x-2}{x-2} - 14 = x^2 - 5x - 14$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{-5}{2 \cdot 1} = 2.5$. Вершина принадлежит промежутку $x > 2$.
$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) - 14 = 6.25 - 12.5 - 14 = -20.25$.
Вершина находится в точке $(2.5, -20.25)$.
На границе, при $x \to 2^+$, $y \to 2^2 - 5(2) - 14 = 4 - 10 - 14 = -20$. На графике будет выколотая точка $(2, -20)$.

б) Если $x < 2$, то $|x-2| = -(x-2)$. Функция принимает вид:
$y = x^2 - 5x\frac{-(x-2)}{x-2} - 14 = x^2 + 5x - 14$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{5}{2 \cdot 1} = -2.5$. Вершина принадлежит промежутку $x < 2$.
$y_v = (-2.5)^2 + 5(-2.5) - 14 = 6.25 - 12.5 - 14 = -20.25$.
Вершина находится в точке $(-2.5, -20.25)$.
На границе, при $x \to 2^-$, $y \to 2^2 + 5(2) - 14 = 4 + 10 - 14 = 0$. На графике будет выколотая точка $(2, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, разделенных вертикальной прямой $x=2$, в которой функция не определена. При $x > 2$ график является частью параболы $y = x^2 - 5x - 14$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(2.5, -20.25)$, с выколотой точкой $(2, -20)$. При $x < 2$ график является частью параболы $y = x^2 + 5x - 14$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-2.5, -20.25)$, с выколотой точкой $(2, 0)$.

4) $y = x^2 - 4|x+1| + 5x + 4$

Раскроем модуль $|x+1|$, рассмотрев два случая:

а) Если $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x+1| = x+1$.
$y = x^2 - 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 - 4x - 4 + 5x + 4 = x^2 + x$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -0.5$. Вершина принадлежит промежутку $x \ge -1$.
$y_v = (-0.5)^2 + (-0.5) = 0.25 - 0.5 = -0.25$.
Вершина находится в точке $(-0.5, -0.25)$.
В точке "стыка" $x=-1$, $y = (-1)^2 + (-1) = 0$.

б) Если $x+1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x+1| = -(x+1)$.
$y = x^2 - 4(-(x+1)) + 5x + 4 = x^2 + 4(x+1) + 5x + 4 = x^2 + 4x + 4 + 5x + 4 = x^2 + 9x + 8$.
Это парабола с ветвями вверх. Найдем ее вершину:
$x_v = -\frac{9}{2 \cdot 1} = -4.5$. Вершина принадлежит промежутку $x < -1$.
$y_v = (-4.5)^2 + 9(-4.5) + 8 = 20.25 - 40.5 + 8 = -12.25$.
Вершина находится в точке $(-4.5, -12.25)$.
В точке "стыка" $x \to -1^-$, $y \to (-1)^2 + 9(-1) + 8 = 1 - 9 + 8 = 0$.

Значения функции в точке $x=-1$ для обоих случаев совпадают, следовательно, функция непрерывна. График состоит из двух частей парабол, соединяющихся в точке $(-1, 0)$.

Ответ: График функции состоит из двух частей парабол, соединенных в точке $(-1, 0)$. При $x \ge -1$ график совпадает с параболой $y = x^2 + x$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-0.5, -0.25)$. При $x < -1$ график совпадает с параболой $y = x^2 + 9x + 8$ с ветвями вверх и вершиной в точке $(-4.5, -12.25)$. Функция непрерывна, но в точке $x=-1$ график имеет излом.