Страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

140. Два рабочих вместе могут выполнить заказ за 12 дней. Они проработали вместе 10 дней, а затем один из рабочих в одиночку закончил выполнение заказа за 5 дней. За сколько дней каждый рабочий может выполнить данный заказ?

Примем весь объем работы (заказ) за 1.

Пусть $x$ – количество дней, за которое первый рабочий может выполнить весь заказ, работая в одиночку, а $y$ – количество дней, за которое второй рабочий может выполнить весь заказ в одиночку.

Тогда производительность (часть заказа, выполняемая за один день) первого рабочего равна $p_1 = \frac{1}{x}$, а производительность второго рабочего – $p_2 = \frac{1}{y}$.

По условию, два рабочих вместе могут выполнить заказ за 12 дней. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Составим первое уравнение:

$(p_1 + p_2) \cdot 12 = 1 \implies p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

Рабочие проработали вместе 10 дней. За это время они выполнили часть заказа:

$W_{совместно} = (p_1 + p_2) \cdot 10 = \frac{1}{12} \cdot 10 = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$

После этого осталась невыполненной следующая часть заказа:

$W_{остаток} = 1 - W_{совместно} = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$

По условию, один из рабочих закончил эту оставшуюся часть заказа за 5 дней. Допустим, это был первый рабочий. Тогда его производительность $p_1$ можно найти из соотношения:

$p_1 \cdot 5 = W_{остаток}$

$p_1 \cdot 5 = \frac{1}{6} \implies p_1 = \frac{1}{6 \cdot 5} = \frac{1}{30}$

Это означает, что производительность первого рабочего – $\frac{1}{30}$ заказа в день. Следовательно, на выполнение всего заказа в одиночку ему потребуется 30 дней.

$x = \frac{1}{p_1} = 30$ дней.

Теперь найдем производительность второго рабочего, используя первое уравнение:

$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

$\frac{1}{30} + p_2 = \frac{1}{12}$

$p_2 = \frac{1}{12} - \frac{1}{30}$

Приведем дроби к общему знаменателю 60:

$p_2 = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$

Производительность второго рабочего – $\frac{1}{20}$ заказа в день. Это означает, что на выполнение всего заказа в одиночку ему потребуется 20 дней.

$y = \frac{1}{p_2} = 20$ дней.

Если бы оставшуюся часть работы выполнял второй рабочий, то результаты были бы зеркальными: второй рабочий выполнил бы заказ за 30 дней, а первый – за 20. В любом случае, одному рабочему требуется 20 дней, а другому – 30.

Ответ: один рабочий может выполнить данный заказ за 20 дней, а другой – за 30 дней.

141. Если открыть одновременно две трубы, то бассейн будет наполнен водой за 8 ч. Если сначала через первую трубу наполнить половину бассейна, а потом через вторую трубу — оставшуюся часть бассейна, то весь бассейн будет наполнен за 18 ч. За сколько часов можно наполнить бассейн через каждую трубу?

Обозначим за $t_1$ время (в часах), за которое первая труба может наполнить весь бассейн, и за $t_2$ — время, за которое вторая труба может наполнить весь бассейн. Тогда производительность (скорость наполнения) первой трубы равна $\frac{1}{t_1}$ бассейна в час, а второй — $\frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

1. Составление системы уравнений по условиям задачи.

Согласно первому условию, если открыть обе трубы одновременно, бассейн наполнится за 8 часов. Это означает, что их суммарная производительность равна $\frac{1}{8}$ бассейна в час. Получаем первое уравнение:

$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$

Согласно второму условию, сначала первая труба наполняет половину бассейна, а затем вторая — оставшуюся половину. Общее время составляет 18 часов. Время, за которое первая труба наполнит половину бассейна, равно $\frac{1/2}{1/t_1} = \frac{t_1}{2}$ часов. Время, за которое вторая труба наполнит вторую половину, равно $\frac{1/2}{1/t_2} = \frac{t_2}{2}$ часов. Получаем второе уравнение:

$\frac{t_1}{2} + \frac{t_2}{2} = 18$

Умножим второе уравнение на 2, чтобы упростить его:

$t_1 + t_2 = 36$

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений:

2. Решение системы уравнений.

Преобразуем первое уравнение, приведя левую часть к общему знаменателю:

$\frac{t_2 + t_1}{t_1 t_2} = \frac{1}{8}$

Из второго уравнения системы мы знаем, что $t_1 + t_2 = 36$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$\frac{36}{t_1 t_2} = \frac{1}{8}$

Отсюда находим произведение $t_1 t_2$:

$t_1 t_2 = 36 \cdot 8 = 288$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

Согласно обратной теореме Виета, $t_1$ и $t_2$ являются корнями квадратного уравнения $x^2 - 36x + 288 = 0$.

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-36)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 288 = 1296 - 1152 = 144$

$\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 + 12}{2} = \frac{48}{2} = 24$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{36 - 12}{2} = \frac{24}{2} = 12$

Таким образом, время наполнения бассейна для одной трубы составляет 12 часов, а для другой — 24 часа.

Ответ: Одна труба может наполнить бассейн за 12 часов, а другая — за 24 часа.

142. Из села $A$ в село $B$, расстояние между которыми равно $20 \text{ км}$, вышел пешеход. Через $2 \text{ ч}$ из села $A$ в том же направлении со скоростью $15 \text{ км/ч}$ выехал велосипедист, который догнал пешехода, передал ему пакет и поехал в село $A$ с той же скоростью. Пешеход пришёл в $B$, а велосипедист вернулся в $A$ одновременно. Найдите скорость пешехода.

Обозначим искомую скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч).

Дано:

• Расстояние от села А до села В: $S = 20$ км.
• Скорость велосипедиста: $v_в = 15$ км/ч.
• Велосипедист выехал на 2 часа позже пешехода.

Для решения задачи приравняем общее время, которое пешеход и велосипедист затратили на свои маршруты с момента старта пешехода.

1. Найдём время и место встречи.

Пусть $t$ - это время, которое ехал велосипедист до встречи с пешеходом.

За это время велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_в \cdot t = 15t$.

Пешеход к моменту встречи был в пути на 2 часа дольше, то есть $(t + 2)$ часа.

За это время пешеход прошел расстояние $S_1 = v_п \cdot (t + 2)$.

Поскольку они встретились, пройденные ими расстояния от пункта А равны:

$15t = v_п(t + 2)$

Это наше первое уравнение.

2. Рассмотрим движение после встречи.

После встречи пешеход продолжил движение в село В, а велосипедист поехал обратно в село А. Они прибыли в свои пункты назначения одновременно. Это означает, что время, затраченное ими на путь после встречи, одинаково.

Место встречи находилось на расстоянии $S_1$ от села А.

Время, которое велосипедист затратил на обратный путь в А:

$t_{возврата} = \frac{S_1}{v_в} = \frac{15t}{15} = t$

Расстояние, которое осталось пройти пешеходу до села В:

$S_2 = S - S_1 = 20 - 15t$

Время, которое пешеход затратил на этот оставшийся путь:

$t_{остаток} = \frac{S_2}{v_п} = \frac{20 - 15t}{v_п}$

Так как они прибыли одновременно, время их движения после встречи равно:

$t_{возврата} = t_{остаток}$

$t = \frac{20 - 15t}{v_п}$

Отсюда можно выразить $v_п$:

$v_п = \frac{20 - 15t}{t}$

Это наше второе уравнение.

3. Решим систему уравнений.

Подставим выражение для $v_п$ из второго уравнения в первое:

$15t = \left(\frac{20 - 15t}{t}\right) \cdot (t + 2)$

Умножим обе части на $t$ (по смыслу задачи $t > 0$):

$15t^2 = (20 - 15t)(t + 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$15t^2 = 20t + 40 - 15t^2 - 30t$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15t^2 + 15t^2 - 20t + 30t - 40 = 0$

$30t^2 + 10t - 40 = 0$

Разделим уравнение на 10 для упрощения:

$3t^2 + t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень $t = 1$ час. Это время, которое ехал велосипедист до встречи.

4. Найдем скорость пешехода.

Теперь, зная $t$, мы можем найти $v_п$ с помощью второго уравнения:

$v_п = \frac{20 - 15t}{t} = \frac{20 - 15 \cdot 1}{1} = \frac{20 - 15}{1} = 5$ км/ч.

Проверка:
Скорость пешехода $v_п = 5$ км/ч.
Пешеход вышел из А. Через 2 часа он прошел $5 \cdot 2 = 10$ км.
В этот момент выехал велосипедист. Скорость сближения $15 - 5 = 10$ км/ч.
Велосипедист догонит пешехода через $10 / 10 = 1$ час.
Место встречи: $15 \cdot 1 = 15$ км от А.
После встречи велосипедист едет 15 км обратно в А. Время на это: $15 / 15 = 1$ час.
Пешеходу до В осталось $20 - 15 = 5$ км. Время на это: $5 / 5 = 1$ час.
Время после встречи совпадает (1 час), значит, они прибыли одновременно. Условия задачи выполнены.

Ответ: 5 км/ч.

143. Одновременно из одного города в одном направлении выехали два мотоциклиста: первый со скоростью $80 \text{ км/ч}$, а второй — $60 \text{ км/ч}$. Через полчаса из этого города в этом же направлении выехал третий мотоциклист. Найдите скорость третьего мотоциклиста, если известно, что он догнал первого мотоциклиста через 1 ч 15 мин после того, как догнал второго.

Решение:

Обозначим скорости мотоциклистов как $v_1 = 80$ км/ч, $v_2 = 60$ км/ч. Пусть $v_3 = x$ км/ч — искомая скорость третьего мотоциклиста. Третий мотоциклист выехал на 0,5 часа позже первых двух.

1. Найдем время, когда третий мотоциклист догнал второго.
К моменту выезда третьего мотоциклиста (через 0,5 ч) второй мотоциклист проехал расстояние $S_2 = v_2 \cdot 0.5 = 60 \cdot 0.5 = 30$ км. Скорость сближения третьего и второго мотоциклистов равна $(x - 60)$ км/ч. Время, которое потребовалось третьему, чтобы догнать второго с момента своего выезда, равно $t_{сбл2} = \frac{30}{x-60}$ ч. Общее время с момента старта первых двух мотоциклистов до момента, когда третий догнал второго, составляет $T_2 = 0.5 + t_{сбл2} = 0.5 + \frac{30}{x-60} = \frac{0.5(x-60) + 30}{x-60} = \frac{0.5x - 30 + 30}{x-60} = \frac{0.5x}{x-60}$ ч.

2. Найдем время, когда третий мотоциклист догнал первого.
К моменту выезда третьего мотоциклиста первый проехал расстояние $S_1 = v_1 \cdot 0.5 = 80 \cdot 0.5 = 40$ км. Скорость сближения третьего и первого мотоциклистов равна $(x - 80)$ км/ч. Время, которое потребовалось третьему, чтобы догнать первого с момента своего выезда, равно $t_{сбл1} = \frac{40}{x-80}$ ч. Общее время с момента старта первых двух мотоциклистов до момента, когда третий догнал первого, составляет $T_1 = 0.5 + t_{сбл1} = 0.5 + \frac{40}{x-80} = \frac{0.5(x-80) + 40}{x-80} = \frac{0.5x - 40 + 40}{x-80} = \frac{0.5x}{x-80}$ ч.

3. Составим и решим уравнение.
По условию, третий мотоциклист догнал первого на 1 час 15 минут позже, чем второго. Переведем 1 ч 15 мин в часы: $1 + \frac{15}{60} = 1 + \frac{1}{4} = 1.25$ ч. Разница во времени $T_1 - T_2 = 1.25$ ч.
$\frac{0.5x}{x-80} - \frac{0.5x}{x-60} = 1.25$
Вынесем $0.5x$ за скобки:
$0.5x \left( \frac{1}{x-80} - \frac{1}{x-60} \right) = 1.25$
Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:
$0.5x \left( \frac{x-60 - (x-80)}{(x-80)(x-60)} \right) = 1.25$
$0.5x \left( \frac{x-60-x+80}{(x-80)(x-60)} \right) = 1.25$
$0.5x \left( \frac{20}{x^2 - 140x + 4800} \right) = 1.25$
$\frac{10x}{x^2 - 140x + 4800} = 1.25$
$10x = 1.25(x^2 - 140x + 4800)$
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби ($1.25 \cdot 4 = 5$):
$40x = 5(x^2 - 140x + 4800)$
Разделим обе части на 5:
$8x = x^2 - 140x + 4800$
$x^2 - 148x + 4800 = 0$
Решим квадратное уравнение через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-148)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4800 = 21904 - 19200 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 + 52}{2} = \frac{200}{2} = 100$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{148 - 52}{2} = \frac{96}{2} = 48$

4. Анализ полученных корней.
Скорость третьего мотоциклиста должна быть больше скоростей первого и второго, чтобы он мог их догнать, то есть $x > 80$ км/ч. Корень $x_2 = 48$ км/ч не удовлетворяет этому условию, поэтому он является посторонним. Корень $x_1 = 100$ км/ч удовлетворяет условию $100 > 80$.
Следовательно, скорость третьего мотоциклиста равна 100 км/ч.

Ответ: 100 км/ч.

144. Две точки двигаются по окружности в одном направлении. Первая точка проходит окружность на 2 с быстрее второй и догоняет её через каждые 12 с. За какое время каждая точка проходит окружность?

Обозначим за $t_1$ время, за которое первая точка проходит полный круг, и за $t_2$ — время, за которое вторая точка проходит полный круг (в секундах).

Согласно условию, первая точка проходит окружность на 2 секунды быстрее второй. Это можно выразить уравнением:

$t_1 = t_2 - 2$

Скорость движения точки — это величина, обратная времени прохождения одного круга. Если принять длину окружности за 1, то угловые скорости точек будут $v_1 = 1/t_1$ и $v_2 = 1/t_2$ (в кругах в секунду).

Первая точка догоняет вторую каждые 12 секунд. Это означает, что за 12 секунд первая точка проходит ровно на один круг больше, чем вторая. Скорость, с которой первая точка догоняет вторую (относительная скорость), равна разности их скоростей: $v_{отн} = v_1 - v_2$.

За время $T = 12$ с первая точка "покрывает" разницу в один круг. Таким образом, можно составить второе уравнение:

$v_1 - v_2 = \frac{1}{12}$

Подставим выражения для скоростей через время:

$\frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} t_1 = t_2 - 2 \\ \frac{1}{t_1} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12} \end{cases}$

Подставим выражение для $t_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{t_2 - 2} - \frac{1}{t_2} = \frac{1}{12}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t_2 - (t_2 - 2)}{(t_2 - 2)t_2} = \frac{1}{12}$

$\frac{2}{t_2^2 - 2t_2} = \frac{1}{12}$

Используя свойство пропорции (крест-накрест), получим:

$t_2^2 - 2t_2 = 2 \cdot 12$

$t_2^2 - 2t_2 - 24 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100$

Найдем корни уравнения:

$t_{2,1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{100}}{2} = \frac{2 + 10}{2} = 6$

$t_{2,2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{100}}{2} = \frac{2 - 10}{2} = -4$

Поскольку время не может быть отрицательной величиной, корень $t_2 = -4$ не является решением задачи. Таким образом, время, за которое вторая точка проходит окружность, равно 6 секундам.

Теперь найдем время для первой точки, используя первое уравнение системы:

$t_1 = t_2 - 2 = 6 - 2 = 4$

Итак, первая точка проходит окружность за 4 секунды, а вторая — за 6 секунд.

За какое время каждая точка проходит окружность?

Первая точка проходит окружность за 4 секунды, вторая точка проходит окружность за 6 секунд.

Ответ: 4 с и 6 с.

145. Дорога между сёлами А и В сначала идёт вверх, а затем спускается. Пешеход на путь из А в В тратит $4 \text{ ч}$, а на обратный путь — $4 \text{ ч } 20 \text{ мин}$. На подъёме он движется на $1 \text{ км/ч}$ медленнее, чем на спуске. С какой скоростью пешеход идёт в гору и с какой — с горы, если расстояние между сёлами А и В равно $10 \text{ км}$?

Пусть $x$ км/ч — скорость пешехода на подъёме (в гору). По условию, на подъёме он движется на 1 км/ч медленнее, чем на спуске, следовательно, его скорость на спуске (с горы) равна $(x+1)$ км/ч.

Обозначим длину подъёма на пути из села А в село В как $S_1$ км, а длину спуска — как $S_2$ км. Общее расстояние между сёлами А и В равно 10 км, следовательно, $S_1 + S_2 = 10$.

Время, затраченное на путь из А в В, складывается из времени на подъём и времени на спуск: $T_{А \to В} = \frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1}$. По условию, это время равно 4 часам. Получаем первое уравнение:$$ \frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1} = 4 $$

На обратном пути из В в А участок, который был спуском ($S_2$), становится подъёмом, а участок, который был подъёмом ($S_1$), — спуском. Время на обратный путь составляет 4 ч 20 мин, что равно $4 + \frac{20}{60} = 4 + \frac{1}{3} = \frac{13}{3}$ часа. Время, затраченное на путь из В в А: $T_{В \to А} = \frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1}$. Получаем второе уравнение:$$ \frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1} = \frac{13}{3} $$

Мы получили систему из двух уравнений с тремя неизвестными. Чтобы её решить, сложим два полученных уравнения:$$ \left(\frac{S_1}{x} + \frac{S_2}{x+1}\right) + \left(\frac{S_2}{x} + \frac{S_1}{x+1}\right) = 4 + \frac{13}{3} $$Сгруппируем слагаемые:$$ \frac{S_1+S_2}{x} + \frac{S_1+S_2}{x+1} = \frac{12+13}{3} $$Так как $S_1+S_2 = 10$, подставим это значение в уравнение:$$ \frac{10}{x} + \frac{10}{x+1} = \frac{25}{3} $$

Теперь решим это уравнение относительно $x$. Разделим обе части уравнения на 5:$$ \frac{2}{x} + \frac{2}{x+1} = \frac{5}{3} $$Приведём левую часть к общему знаменателю:$$ \frac{2(x+1) + 2x}{x(x+1)} = \frac{5}{3} $$$$ \frac{4x+2}{x^2+x} = \frac{5}{3} $$Используя свойство пропорции (перекрёстное умножение), получаем:$$ 3(4x+2) = 5(x^2+x) $$$$ 12x+6 = 5x^2+5x $$Приведём уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:$$ 5x^2 - 7x - 6 = 0 $$Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 49 + 120 = 169 = 13^2$. Корни уравнения:$$ x_1 = \frac{-(-7) - \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 - 13}{10} = -0.6 $$$$ x_2 = \frac{-(-7) + \sqrt{169}}{2 \cdot 5} = \frac{7 + 13}{10} = \frac{20}{10} = 2 $$Так как скорость не может быть отрицательной, единственное подходящее решение — $x=2$.

Таким образом, скорость пешехода на подъёме (в гору) составляет 2 км/ч, а на спуске (с горы) — $x+1 = 2+1 = 3$ км/ч.

Ответ: скорость пешехода в гору — 2 км/ч, скорость с горы — 3 км/ч.