Номер 142, страница 27 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

142. Из села $A$ в село $B$, расстояние между которыми равно $20 \text{ км}$, вышел пешеход. Через $2 \text{ ч}$ из села $A$ в том же направлении со скоростью $15 \text{ км/ч}$ выехал велосипедист, который догнал пешехода, передал ему пакет и поехал в село $A$ с той же скоростью. Пешеход пришёл в $B$, а велосипедист вернулся в $A$ одновременно. Найдите скорость пешехода.

Обозначим искомую скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч).

Дано:

• Расстояние от села А до села В: $S = 20$ км.
• Скорость велосипедиста: $v_в = 15$ км/ч.
• Велосипедист выехал на 2 часа позже пешехода.

Для решения задачи приравняем общее время, которое пешеход и велосипедист затратили на свои маршруты с момента старта пешехода.

1. Найдём время и место встречи.

Пусть $t$ - это время, которое ехал велосипедист до встречи с пешеходом.

За это время велосипедист проехал расстояние $S_1 = v_в \cdot t = 15t$.

Пешеход к моменту встречи был в пути на 2 часа дольше, то есть $(t + 2)$ часа.

За это время пешеход прошел расстояние $S_1 = v_п \cdot (t + 2)$.

Поскольку они встретились, пройденные ими расстояния от пункта А равны:

$15t = v_п(t + 2)$

Это наше первое уравнение.

2. Рассмотрим движение после встречи.

После встречи пешеход продолжил движение в село В, а велосипедист поехал обратно в село А. Они прибыли в свои пункты назначения одновременно. Это означает, что время, затраченное ими на путь после встречи, одинаково.

Место встречи находилось на расстоянии $S_1$ от села А.

Время, которое велосипедист затратил на обратный путь в А:

$t_{возврата} = \frac{S_1}{v_в} = \frac{15t}{15} = t$

Расстояние, которое осталось пройти пешеходу до села В:

$S_2 = S - S_1 = 20 - 15t$

Время, которое пешеход затратил на этот оставшийся путь:

$t_{остаток} = \frac{S_2}{v_п} = \frac{20 - 15t}{v_п}$

Так как они прибыли одновременно, время их движения после встречи равно:

$t_{возврата} = t_{остаток}$

$t = \frac{20 - 15t}{v_п}$

Отсюда можно выразить $v_п$:

$v_п = \frac{20 - 15t}{t}$

Это наше второе уравнение.

3. Решим систему уравнений.

Подставим выражение для $v_п$ из второго уравнения в первое:

$15t = \left(\frac{20 - 15t}{t}\right) \cdot (t + 2)$

Умножим обе части на $t$ (по смыслу задачи $t > 0$):

$15t^2 = (20 - 15t)(t + 2)$

Раскроем скобки в правой части:

$15t^2 = 20t + 40 - 15t^2 - 30t$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$15t^2 + 15t^2 - 20t + 30t - 40 = 0$

$30t^2 + 10t - 40 = 0$

Разделим уравнение на 10 для упрощения:

$3t^2 + t - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 = 7^2$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 7}{2 \cdot 3} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 7}{2 \cdot 3} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

Поскольку время не может быть отрицательным, выбираем корень $t = 1$ час. Это время, которое ехал велосипедист до встречи.

4. Найдем скорость пешехода.

Теперь, зная $t$, мы можем найти $v_п$ с помощью второго уравнения:

$v_п = \frac{20 - 15t}{t} = \frac{20 - 15 \cdot 1}{1} = \frac{20 - 15}{1} = 5$ км/ч.

Проверка:
Скорость пешехода $v_п = 5$ км/ч.
Пешеход вышел из А. Через 2 часа он прошел $5 \cdot 2 = 10$ км.
В этот момент выехал велосипедист. Скорость сближения $15 - 5 = 10$ км/ч.
Велосипедист догонит пешехода через $10 / 10 = 1$ час.
Место встречи: $15 \cdot 1 = 15$ км от А.
После встречи велосипедист едет 15 км обратно в А. Время на это: $15 / 15 = 1$ час.
Пешеходу до В осталось $20 - 15 = 5$ км. Время на это: $5 / 5 = 1$ час.
Время после встречи совпадает (1 час), значит, они прибыли одновременно. Условия задачи выполнены.

Ответ: 5 км/ч.