Номер 137, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

137. Из города в село, расстояние между которыми равно 45 км, выехали одновременно грузовик и велосипедист. Грузовик приехал в село на 2 ч раньше, чем велосипедист. Найдите скорость движения велосипедиста, если за 2 ч грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист за это же время.

Пусть $v_в$ км/ч — скорость велосипедиста, а $v_г$ км/ч — скорость грузовика. Расстояние $S$ между городом и селом составляет 45 км.

Из условия известно, что за 2 часа грузовик проезжает на 60 км больше, чем велосипедист за то же время. Составим уравнение на основе этих данных:

$2 \cdot v_г - 2 \cdot v_в = 60$

Разделим обе части уравнения на 2, чтобы найти разницу в скоростях:

$v_г - v_в = 30$

Отсюда можно выразить скорость грузовика через скорость велосипедиста:

$v_г = v_в + 30$

Время, которое затратил велосипедист на весь путь, равно $t_в = \frac{S}{v_в} = \frac{45}{v_в}$ часов.

Время, которое затратил грузовик на весь путь, равно $t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{45}{v_г}$ часов.

По условию, грузовик приехал на 2 часа раньше, чем велосипедист. Это означает, что время в пути велосипедиста на 2 часа больше времени грузовика:

$t_в - t_г = 2$

Подставим в это уравнение выражения для времени:

$\frac{45}{v_в} - \frac{45}{v_г} = 2$

Теперь подставим в это уравнение ранее найденное выражение для $v_г$:

$\frac{45}{v_в} - \frac{45}{v_в + 30} = 2$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v_в(v_в + 30)$:

$\frac{45(v_в + 30) - 45v_в}{v_в(v_в + 30)} = 2$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{45v_в + 1350 - 45v_в}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

$\frac{1350}{v_в^2 + 30v_в} = 2$

Умножим обе части на знаменатель $v_в^2 + 30v_в$, при условии, что он не равен нулю (скорость не может быть равна 0 или -30 км/ч, что соответствует условиям задачи):

$1350 = 2(v_в^2 + 30v_в)$

$1350 = 2v_в^2 + 60v_в$

Перенесем все члены в одну сторону и разделим на 2, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$2v_в^2 + 60v_в - 1350 = 0 \quad | :2$

$v_в^2 + 30v_в - 675 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-675) = 900 + 2700 = 3600$

Найдем корни уравнения:

$v_{в1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 + \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 + 60}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$v_{в2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-30 - \sqrt{3600}}{2 \cdot 1} = \frac{-30 - 60}{2} = \frac{-90}{2} = -45$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, второй корень $v_{в2} = -45$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость велосипедиста составляет 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.