Номер 135, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

135. Токарь планировал за определённое время изготовить 105 деталей. Однако он выполнил это задание на 2 дня раньше срока, так как изготавливал ежедневно на 14 деталей больше, чем планировал. Сколько деталей в день он изготавливал?

Пусть $x$ — это количество деталей, которое токарь планировал изготавливать ежедневно. Тогда фактически он изготавливал $(x + 14)$ деталей в день.

Время, которое токарь планировал потратить на изготовление 105 деталей, составляет $\frac{105}{x}$ дней.

Фактическое время, затраченное на работу, составило $\frac{105}{x + 14}$ дней.

Согласно условию, токарь выполнил задание на 2 дня раньше срока. Это значит, что плановое время больше фактического на 2 дня. Составим и решим уравнение:

$\frac{105}{x} - \frac{105}{x + 14} = 2$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $x(x + 14)$:

$\frac{105(x + 14) - 105x}{x(x + 14)} = 2$

Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{105x + 1470 - 105x}{x^2 + 14x} = 2$

$\frac{1470}{x^2 + 14x} = 2$

Так как по смыслу задачи $x > 0$, то $x^2 + 14x \neq 0$. Умножим обе части уравнения на $x^2 + 14x$:

$1470 = 2(x^2 + 14x)$

Разделим обе части на 2:

$735 = x^2 + 14x$

Перепишем уравнение в стандартном виде квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 14x - 735 = 0$

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-735) = 196 + 2940 = 3136$

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-14 + \sqrt{3136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 + 56}{2} = \frac{42}{2} = 21$

$x_2 = \frac{-14 - \sqrt{3136}}{2 \cdot 1} = \frac{-14 - 56}{2} = \frac{-70}{2} = -35$

Корень $x_2 = -35$ не удовлетворяет условию задачи, так как количество деталей не может быть отрицательным. Значит, токарь планировал изготавливать 21 деталь в день.

Вопрос задачи — сколько деталей в день он изготавливал фактически. Для этого к плановому значению прибавим 14:

$21 + 14 = 35$ (деталей).

Ответ: 35 деталей.