Номер 136, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

136. Два туриста вышли одновременно из городов $A$ и $B$ навстречу друг другу и после встречи каждый продолжил движение в первоначальном направлении. Один из них, скорость которого на 3 км/ч больше скорости другого, прибыл в город $A$ через 2 ч после встречи, а другой в город $B$ — через 4 ч 30 мин после встречи. Найдите скорость каждого туриста. Через какое время после начала движения состоялась их встреча?

Пусть $v_1$ (км/ч) — скорость туриста, вышедшего из города А (назовем его первым), а $v_2$ (км/ч) — скорость туриста, вышедшего из города В (назовем его вторым). Пусть $t$ (ч) — время от начала движения до их встречи в точке C.

До встречи первый турист прошел расстояние $AC = v_1 \cdot t$, а второй — расстояние $BC = v_2 \cdot t$.

После встречи первый турист прошел оставшееся расстояние $BC$ за $t_1 = 4$ ч 30 мин $= 4.5$ ч. Таким образом, $BC = v_1 \cdot 4.5$.

Второй турист после встречи прошел оставшееся расстояние $AC$ за $t_2 = 2$ ч. Таким образом, $AC = v_2 \cdot 2$.

Из условия известно, что скорость одного туриста на 3 км/ч больше скорости другого. Турист, прибывший в город А, — это тот, кто вышел из города В (второй турист). Он затратил на оставшийся путь 2 часа. Первый турист затратил 4.5 часа. Так как второй турист потратил меньше времени на преодоление пути $AC$, который первый турист шел до встречи, его скорость выше. Следовательно, $v_2 = v_1 + 3$.

Теперь мы можем составить систему уравнений, приравняв выражения для расстояний $AC$ и $BC$:

1) $v_1 \cdot t = v_2 \cdot 2$

2) $v_2 \cdot t = v_1 \cdot 4.5$

Выразим $t$ из первого уравнения: $t = \frac{2v_2}{v_1}$.

Подставим это выражение для $t$ во второе уравнение:

$v_2 \cdot (\frac{2v_2}{v_1}) = 4.5v_1$

$\frac{2v_2^2}{v_1} = 4.5v_1$

$2v_2^2 = 4.5v_1^2$

Теперь подставим в это уравнение известное соотношение скоростей $v_2 = v_1 + 3$:

$2(v_1 + 3)^2 = 4.5v_1^2$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$2(v_1^2 + 6v_1 + 9) = 4.5v_1^2$

$2v_1^2 + 12v_1 + 18 = 4.5v_1^2$

$2.5v_1^2 - 12v_1 - 18 = 0$

Для удобства умножим уравнение на 2:

$5v_1^2 - 24v_1 - 36 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-36) = 576 + 720 = 1296$.

$\sqrt{D} = \sqrt{1296} = 36$.

Находим корни:

$v_1 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 \pm 36}{2 \cdot 5} = \frac{24 \pm 36}{10}$

Первый корень $v_{1,1} = \frac{24 + 36}{10} = \frac{60}{10} = 6$.

Второй корень $v_{1,2} = \frac{24 - 36}{10} = -1.2$.

Скорость не может быть отрицательной, поэтому $v_1 = 6$ км/ч.

Скорость второго туриста: $v_2 = v_1 + 3 = 6 + 3 = 9$ км/ч.

Ответ: Скорость одного туриста 6 км/ч, а другого — 9 км/ч.

Для нахождения времени до встречи $t$ воспользуемся ранее выведенной формулой $t = \frac{2v_2}{v_1}$. Подставим в нее найденные значения скоростей $v_1=6$ км/ч и $v_2=9$ км/ч:

$t = \frac{2 \cdot 9}{6} = \frac{18}{6} = 3$ часа.

Ответ: Встреча состоялась через 3 часа после начала движения.