Номер 129, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

129. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 - 2xy = 3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - xy + y = 16, \\ 3y - x = 14; \end{cases} $

5) $ \begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 - 4x = 18; \end{cases} $

6) $ \begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4)(y - 5) = -4. \end{cases} $

1) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x = 2 + y, \\ y^2 - 2xy = 3; \end{cases}$
Воспользуемся методом подстановки. Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:
$y^2 - 2(2 + y)y = 3$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$y^2 - 4y - 2y^2 = 3$
$-y^2 - 4y - 3 = 0$
Умножим уравнение на $-1$ для удобства:
$y^2 + 4y + 3 = 0$
Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета: сумма корней $y_1 + y_2 = -4$, а произведение $y_1 \cdot y_2 = 3$. Подбором находим корни: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.
Теперь найдем соответствующие значения $x$ для каждого корня, используя уравнение $x = 2 + y$:
1. Если $y_1 = -1$, то $x_1 = 2 + (-1) = 1$.
2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 2 + (-3) = -1$.
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $(1; -1)$, $(-1; -3)$.

2) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x + y = 7, \\ xy = 12; \end{cases}$
Эта система является прямой иллюстрацией теоремы Виета для квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$, где $x$ и $y$ являются корнями. Подставим значения из системы:
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.
$t_1 = \frac{7 - \sqrt{1}}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$t_2 = \frac{7 + \sqrt{1}}{2} = \frac{8}{2} = 4$
Корни уравнения — это $3$ и $4$. Следовательно, пары решений $(x, y)$ — это $(3; 4)$ и $(4; 3)$.
Ответ: $(3; 4)$, $(4; 3)$.

3) Дана система уравнений:
$\begin{cases} y + 4x = 6, \\ x^2 + 3xy - y^2 = 3; \end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 6 - 4x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2 + 3x(6 - 4x) - (6 - 4x)^2 = 3$
Раскроем скобки:
$x^2 + 18x - 12x^2 - (36 - 48x + 16x^2) = 3$
$x^2 + 18x - 12x^2 - 36 + 48x - 16x^2 = 3$
Приведем подобные слагаемые:
$-27x^2 + 66x - 36 = 3$
$-27x^2 + 66x - 39 = 0$
Разделим уравнение на $-3$ для упрощения:
$9x^2 - 22x + 13 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-22)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 13 = 484 - 468 = 16$.
$x_1 = \frac{22 - \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 - 4}{18} = \frac{18}{18} = 1$
$x_2 = \frac{22 + \sqrt{16}}{2 \cdot 9} = \frac{22 + 4}{18} = \frac{26}{18} = \frac{13}{9}$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = 6 - 4x$:
1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 6 - 4 \cdot 1 = 2$.
2. Если $x_2 = \frac{13}{9}$, то $y_2 = 6 - 4 \cdot \frac{13}{9} = \frac{54}{9} - \frac{52}{9} = \frac{2}{9}$.
Ответ: $(1; 2)$, $(\frac{13}{9}; \frac{2}{9})$.

4) Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - xy + y = 16, \\ 3y - x = 14; \end{cases}$
Выразим $x$ из второго уравнения: $x = 3y - 14$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(3y - 14)^2 - (3y - 14)y + y = 16$
Раскроем скобки:
$(9y^2 - 84y + 196) - (3y^2 - 14y) + y = 16$
$9y^2 - 84y + 196 - 3y^2 + 14y + y = 16$
Приведем подобные слагаемые:
$6y^2 - 69y + 196 = 16$
$6y^2 - 69y + 180 = 0$
Разделим уравнение на $3$ для упрощения:
$2y^2 - 23y + 60 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 60 = 529 - 480 = 49$.
$y_1 = \frac{23 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{23 - 7}{4} = \frac{16}{4} = 4$
$y_2 = \frac{23 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{23 + 7}{4} = \frac{30}{4} = \frac{15}{2}$
Теперь найдем соответствующие значения $x$, используя $x = 3y - 14$:
1. Если $y_1 = 4$, то $x_1 = 3 \cdot 4 - 14 = 12 - 14 = -2$.
2. Если $y_2 = \frac{15}{2}$, то $x_2 = 3 \cdot \frac{15}{2} - 14 = \frac{45}{2} - \frac{28}{2} = \frac{17}{2}$.
Ответ: $(-2; 4)$, $(\frac{17}{2}; \frac{15}{2})$.

5) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 2x + 3y = 3, \\ 3y^2 - 4x = 18; \end{cases}$
Выразим $2x$ из первого уравнения: $2x = 3 - 3y$. Тогда $4x = 2(3 - 3y) = 6 - 6y$.
Подставим выражение для $4x$ во второе уравнение:
$3y^2 - (6 - 6y) = 18$
$3y^2 - 6 + 6y = 18$
$3y^2 + 6y - 24 = 0$
Разделим уравнение на $3$:
$y^2 + 2y - 8 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $y_1 + y_2 = -2$ и $y_1 \cdot y_2 = -8$. Корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -4$.
Найдем соответствующие значения $x$, используя $2x = 3 - 3y$ (или $x = \frac{3-3y}{2}$):
1. Если $y_1 = 2$, то $2x_1 = 3 - 3 \cdot 2 = 3 - 6 = -3$, откуда $x_1 = -\frac{3}{2}$.
2. Если $y_2 = -4$, то $2x_2 = 3 - 3 \cdot (-4) = 3 + 12 = 15$, откуда $x_2 = \frac{15}{2}$.
Ответ: $(-\frac{3}{2}; 2)$, $(\frac{15}{2}; -4)$.

6) Дана система уравнений:
$\begin{cases} 5x + y = -7, \\ (x + 4)(y - 5) = -4; \end{cases}$
Выразим $y$ из первого уравнения: $y = -7 - 5x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$(x + 4)((-7 - 5x) - 5) = -4$
$(x + 4)(-12 - 5x) = -4$
Раскроем скобки:
$-12x - 5x^2 - 48 - 20x = -4$
$-5x^2 - 32x - 48 = -4$
$-5x^2 - 32x - 44 = 0$
Умножим уравнение на $-1$:
$5x^2 + 32x + 44 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения. Дискриминант $D = 32^2 - 4 \cdot 5 \cdot 44 = 1024 - 880 = 144$.
$x_1 = \frac{-32 - \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-32 - 12}{10} = \frac{-44}{10} = -\frac{22}{5}$
$x_2 = \frac{-32 + \sqrt{144}}{2 \cdot 5} = \frac{-32 + 12}{10} = \frac{-20}{10} = -2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$, используя $y = -7 - 5x$:
1. Если $x_1 = -\frac{22}{5}$, то $y_1 = -7 - 5 \cdot (-\frac{22}{5}) = -7 + 22 = 15$.
2. Если $x_2 = -2$, то $y_2 = -7 - 5 \cdot (-2) = -7 + 10 = 3$.
Ответ: $(-\frac{22}{5}; 15)$, $(-2; 3)$.