Номер 124, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

124. Для каждого значения $a$ решите систему неравенств:

1) $\begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x > a; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 + 7x + 6 \leq 0, \\ x < a. \end{cases}$

1)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - x - 12 > 0, \\ x > a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 - x - 12 > 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. Используя теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения, находим корни: $x_1 = -3$ и $x_2 = 4$.

Графиком функции $y = x^2 - x - 12$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 - x - 12 > 0$ выполняется, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Решение первого неравенства: $x \in (-\infty, -3) \cup (4, \infty)$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x > a$, то есть с интервалом $(a, \infty)$. Для этого рассмотрим различные значения параметра $a$ относительно ключевых точек $-3$ и $4$.

1. Если $a < -3$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ пересекается с обоими частями решения первого неравенства. Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает объединение интервалов $(a, -3)$ и $(4, \infty)$.
Решение системы: $x \in (a, -3) \cup (4, \infty)$.

2. Если $-3 \le a < 4$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ не пересекается с интервалом $(-\infty, -3)$, но пересекается с интервалом $(4, \infty)$. Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает интервал $(4, \infty)$.
Решение системы: $x \in (4, \infty)$.

3. Если $a \ge 4$.
В этом случае интервал $(a, \infty)$ является подмножеством интервала $(4, \infty)$ (или совпадает с ним, если $a=4$, но неравенство $x>a$ строгое). Пересечение множеств $(-\infty, -3) \cup (4, \infty)$ и $(a, \infty)$ дает интервал $(a, \infty)$.
Решение системы: $x \in (a, \infty)$.

Ответ: если $a < -3$, то $x \in (a, -3) \cup (4, \infty)$; если $-3 \le a < 4$, то $x \in (4, \infty)$; если $a \ge 4$, то $x \in (a, \infty)$.

2)

Рассмотрим систему неравенств:

$ \begin{cases} x^2 + 7x + 6 \le 0, \\ x < a. \end{cases} $

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 7x + 6 \le 0$.

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 7x + 6 = 0$. По теореме Виета корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = -1$.

Графиком функции $y = x^2 + 7x + 6$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Следовательно, неравенство $x^2 + 7x + 6 \le 0$ выполняется, когда $x$ находится между корнями, включая сами корни.

Решение первого неравенства: $x \in [-6, -1]$.

Теперь найдем пересечение этого множества с решением второго неравенства $x < a$, то есть с интервалом $(-\infty, a)$. Для этого рассмотрим различные значения параметра $a$ относительно ключевых точек $-6$ и $-1$.

1. Если $a \le -6$.
Интервал $(-\infty, a)$ не имеет общих точек с отрезком $[-6, -1]$. Их пересечение пусто.
Решений у системы нет: $x \in \emptyset$.

2. Если $-6 < a \le -1$.
Интервал $(-\infty, a)$ частично пересекается с отрезком $[-6, -1]$. Пересечением является полуинтервал, начинающийся с $-6$ (включительно) и заканчивающийся $a$ (не включительно).
Решение системы: $x \in [-6, a)$.

3. Если $a > -1$.
Отрезок $[-6, -1]$ полностью содержится в интервале $(-\infty, a)$. Их пересечением будет сам отрезок $[-6, -1]$.
Решение системы: $x \in [-6, -1]$.

Ответ: если $a \le -6$, то решений нет; если $-6 < a \le -1$, то $x \in [-6, a)$; если $a > -1$, то $x \in [-6, -1]$.