Номер 118, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

118. Решите систему неравенств:

1) $$\begin{cases}x^2 + x - 6 \le 0, \\x > 0;\end{cases}$$

2) $$\begin{cases}3x^2 - 8x - 3 > 0, \\x \le 10;\end{cases}$$

3) $$\begin{cases}2x^2 + 13x - 7 \le 0, \\15 - 3x \le 0;\end{cases}$$

4) $$\begin{cases}x^2 + x - 12 \le 0, \\8 + 2x \le 0;\end{cases}$$

5) $$\begin{cases}x^2 + 6x - 40 < 0, \\x^2 + 3x - 18 \ge 0;\end{cases}$$

6) $$\begin{cases}-3x^2 + 16x + 12 < 0, \\x^2 - 11x < 0.\end{cases}$$

1)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 6 \le 0$.
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + x - 6 = 0$.
По теореме Виета, корни уравнения: $x_1 = -3$ и $x_2 = 2$.
Так как ветви параболы $y = x^2 + x - 6$ направлены вверх ($a=1 > 0$), решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-3, 2]$.

Второе неравенство системы: $x > 0$. Его решение: $x \in (0, +\infty)$.

Найдем пересечение решений обоих неравенств: $[-3, 2] \cap (0, +\infty)$.
Пересечением является интервал $(0, 2]$.

Ответ: $x \in (0, 2]$.

2)

Решим первое неравенство системы: $3x^2 - 8x - 3 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 8x - 3 = 0$ через дискриминант.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2$.
$x_1 = \frac{8 - 10}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{8 + 10}{2 \cdot 3} = \frac{18}{6} = 3$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 8x - 3$ направлены вверх ($a=3 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, +\infty)$.

Второе неравенство системы: $x \le 10$. Его решение: $x \in (-\infty, 10]$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -1/3) \cup (3, +\infty)) \cap (-\infty, 10]$.
Пересечение состоит из двух интервалов: $(-\infty, -1/3)$ и $(3, 10]$.

Ответ: $x \in (-\infty, -1/3) \cup (3, 10]$.

3)

Решим первое неравенство системы: $2x^2 + 13x - 7 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 13x - 7 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-7) = 169 + 56 = 225 = 15^2$.
$x_1 = \frac{-13 - 15}{2 \cdot 2} = \frac{-28}{4} = -7$.
$x_2 = \frac{-13 + 15}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=2 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $x \in [-7, 1/2]$.

Решим второе неравенство: $15 - 3x \le 0$.
$-3x \le -15$
$x \ge 5$
Решение: $x \in [5, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $[-7, 1/2] \cap [5, +\infty)$.
Данные интервалы не пересекаются, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

4)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + x - 12 \le 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + x - 12 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -4$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in [-4, 3]$.

Решим второе неравенство: $8 + 2x \le 0$.
$2x \le -8$
$x \le -4$
Решение: $x \in (-\infty, -4]$.

Найдем пересечение решений: $[-4, 3] \cap (-\infty, -4]$.
Единственной общей точкой является $x = -4$.

Ответ: $x = -4$.

5)

Решим первое неравенство системы: $x^2 + 6x - 40 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 6x - 40 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -10$ и $x_2 = 4$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится между корнями: $x \in (-10, 4)$.

Решим второе неравенство: $x^2 + 3x - 18 \ge 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 3x - 18 = 0$.
По теореме Виета, корни: $x_1 = -6$ и $x_2 = 3$.
Ветви параболы направлены вверх ($a=1 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -6] \cup [3, +\infty)$.

Найдем пересечение решений: $(-10, 4) \cap ((-\infty, -6] \cup [3, +\infty))$.
Пересечение состоит из объединения двух интервалов: $(-10, -6]$ и $[3, 4)$.

Ответ: $x \in (-10, -6] \cup [3, 4)$.

6)

Решим первое неравенство системы: $-3x^2 + 16x + 12 < 0$.
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $3x^2 - 16x - 12 > 0$.
Найдем корни уравнения $3x^2 - 16x - 12 = 0$.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 256 + 144 = 400 = 20^2$.
$x_1 = \frac{16 - 20}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$.
$x_2 = \frac{16 + 20}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$.
Ветви параболы $y = 3x^2 - 16x - 12$ направлены вверх ($a=3 > 0$), поэтому решение неравенства находится за пределами корней: $x \in (-\infty, -2/3) \cup (6, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 11x < 0$.
$x(x - 11) < 0$.
Корни: $x=0$ и $x=11$.
Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение находится между корнями: $x \in (0, 11)$.

Найдем пересечение решений: $((-\infty, -2/3) \cup (6, +\infty)) \cap (0, 11)$.
Интервал $(-\infty, -2/3)$ не пересекается с $(0, 11)$.
Пересечение интервалов $(6, +\infty)$ и $(0, 11)$ дает $(6, 11)$.

Ответ: $x \in (6, 11)$.