Номер 116, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

116. Найдите целые решения неравенства:

1) $x^2 + 6x \leq 0$;

2) $x^2 - 8 < 0$;

3) $-6x^2 + 13x - 5 \geq 0$;

4) $21x^2 - 22x + 5 \leq 0$;

5) $-\frac{1}{4}x^2 - 3x + 7 > 0$;

6) $x^2 + 3,5x - 2 \leq 0$.

1) $x^2 + 6x \le 0$

Для решения квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 6x = 0$.
Вынесем $x$ за скобки: $x(x + 6) = 0$.
Корни уравнения: $x_1 = -6$ и $x_2 = 0$.
Графиком функции $y = x^2 + 6x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1 > 0$).
Неравенство $x^2 + 6x \le 0$ выполняется на том промежутке, где график функции находится на оси Ox или ниже нее. Это промежуток между корнями, включая сами корни.
Таким образом, решение неравенства: $x \in [-6; 0]$.
Целые числа, входящие в этот промежуток: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0.

2) $x^2 - 8 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 8 = 0$.
$x^2 = 8 \implies x = \pm\sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2 - 8$ является парабола с ветвями вверх ($a=1 > 0$).
Неравенство $x^2 - 8 < 0$ выполняется на промежутке, где график функции находится строго ниже оси Ox, то есть между корнями.
Решение неравенства: $x \in (-2\sqrt{2}; 2\sqrt{2})$.
Оценим значение $2\sqrt{2}$. Так как $2^2=4$ и $3^2=9$, то $2 < \sqrt{8} < 3$. Более точно, $2\sqrt{2} \approx 2,83$.
Следовательно, мы ищем целые числа в интервале $(-2,83; 2,83)$.
Этому условию удовлетворяют числа: -2, -1, 0, 1, 2.
Ответ: -2, -1, 0, 1, 2.

3) $-6x^2 + 13x - 5 \ge 0$

Чтобы упростить решение, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $6x^2 - 13x + 5 \le 0$.
Найдем корни уравнения $6x^2 - 13x + 5 = 0$ с помощью дискриминанта.
$D = b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 5 = 169 - 120 = 49 = 7^2$.
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 - 7}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 7}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$.
График функции $y = 6x^2 - 13x + 5$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{2}; \frac{5}{3}]$.
В десятичном виде это промежуток $[0,5; 1,66...]$. Единственное целое число в этом промежутке - это 1.
Ответ: 1.

4) $21x^2 - 22x + 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $21x^2 - 22x + 5 = 0$.
$D = (-22)^2 - 4 \cdot 21 \cdot 5 = 484 - 420 = 64 = 8^2$.
$x_1 = \frac{22 - 8}{2 \cdot 21} = \frac{14}{42} = \frac{1}{3}$.
$x_2 = \frac{22 + 8}{2 \cdot 21} = \frac{30}{42} = \frac{5}{7}$.
График функции $y = 21x^2 - 22x + 5$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [\frac{1}{3}; \frac{5}{7}]$.
В десятичном виде это промежуток приблизительно $[0,33; 0,71]$.
В этом промежутке нет целых чисел.
Ответ: нет целых решений.

5) $-\frac{1}{4}x^2 - 3x + 7 > 0$

Умножим обе части неравенства на -4, чтобы избавиться от дроби и отрицательного коэффициента. При этом знак неравенства изменится на противоположный: $x^2 + 12x - 28 < 0$.
Найдем корни уравнения $x^2 + 12x - 28 = 0$.
$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 144 + 112 = 256 = 16^2$.
$x_1 = \frac{-12 - 16}{2} = -14$.
$x_2 = \frac{-12 + 16}{2} = 2$.
График функции $y = x^2 + 12x - 28$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $< 0$ выполняется между корнями, не включая их.
Решение неравенства: $x \in (-14; 2)$.
Целые числа, входящие в этот интервал: -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.
Ответ: -13, -12, -11, -10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1.

6) $x^2 + 3,5x - 2 \le 0$

Умножим обе части неравенства на 2, чтобы работать с целыми коэффициентами: $2x^2 + 7x - 4 \le 0$.
Найдем корни уравнения $2x^2 + 7x - 4 = 0$.
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.
$x_1 = \frac{-7 - 9}{2 \cdot 2} = \frac{-16}{4} = -4$.
$x_2 = \frac{-7 + 9}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
График функции $y = 2x^2 + 7x - 4$ - парабола с ветвями вверх. Неравенство $\le 0$ выполняется между корнями включительно.
Решение неравенства: $x \in [-4; \frac{1}{2}]$.
В десятичном виде это промежуток $[-4; 0,5]$.
Целые числа, входящие в этот промежуток: -4, -3, -2, -1, 0.
Ответ: -4, -3, -2, -1, 0.