Номер 110, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

110. Парабола $y = ax^2 + bx + c$ имеет вершину в точке $M(2; 1)$ и проходит через точку $K(-1; 5)$. Найдите значения коэффициентов $a$, $b$ и $c$.

Для решения задачи воспользуемся уравнением параболы в виде $y = a(x-x_0)^2 + y_0$, где $(x_0, y_0)$ — координаты вершины параболы.

Из условия известно, что вершина параболы находится в точке $M(2; 1)$. Следовательно, $x_0 = 2$ и $y_0 = 1$. Подставим эти значения в уравнение:

$y = a(x-2)^2 + 1$

Также известно, что парабола проходит через точку $K(-1; 5)$. Это означает, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению параболы. Подставим значения $x = -1$ и $y = 5$ в полученное уравнение, чтобы найти коэффициент $a$:

$5 = a(-1-2)^2 + 1$

$5 = a(-3)^2 + 1$

$5 = 9a + 1$

$9a = 5 - 1$

$9a = 4$

$a = \frac{4}{9}$

Теперь мы знаем значение коэффициента $a$. Уравнение параболы имеет вид:

$y = \frac{4}{9}(x-2)^2 + 1$

Чтобы найти коэффициенты $b$ и $c$, приведем это уравнение к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$, раскрыв скобки:

$y = \frac{4}{9}(x^2 - 4x + 4) + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{9} \cdot 4x + \frac{4}{9} \cdot 4 + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{16}{9} + 1$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{16}{9} + \frac{9}{9}$

$y = \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{9}x + \frac{25}{9}$

Сравнивая полученное уравнение с уравнением $y = ax^2 + bx + c$, находим значения коэффициентов:

$a = \frac{4}{9}$

$b = -\frac{16}{9}$

$c = \frac{25}{9}$

Ответ: $a = \frac{4}{9}$, $b = -\frac{16}{9}$, $c = \frac{25}{9}$.