Номер 109, страница 21 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

109. При каких значениях $p$ и $q$ вершина параболы

$y = x^2 + px + q$ находится в точке $(4; 7)$?

Чтобы найти значения $p$ и $q$, при которых вершина параболы $y = x^2 + px + q$ находится в точке $(4; 7)$, можно использовать два способа.

Способ 1: Использование формулы для координат вершины параболы

Уравнение параболы $y = x^2 + px + q$ соответствует общему виду $y = ax^2 + bx + c$, где коэффициенты равны $a = 1$, $b = p$ и $c = q$.

Абсцисса вершины параболы $(x_в)$ вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$. Согласно условию, вершина находится в точке $(4; 7)$, следовательно, $x_в = 4$.

Подставим известные значения в формулу, чтобы найти $p$:

$4 = -\frac{p}{2 \cdot 1}$

$4 = -\frac{p}{2}$

Отсюда получаем:

$p = -8$

Теперь мы знаем, что уравнение параболы имеет вид $y = x^2 - 8x + q$. Поскольку точка $(4; 7)$ является вершиной, она принадлежит графику этой функции. Это означает, что ее координаты удовлетворяют уравнению. Подставим $x = 4$ и $y = 7$ в уравнение, чтобы найти $q$:

$7 = (4)^2 - 8 \cdot 4 + q$

$7 = 16 - 32 + q$

$7 = -16 + q$

$q = 7 + 16 = 23$

Таким образом, мы нашли искомые значения $p=-8$ и $q=23$.

Ответ: $p = -8$, $q = 23$.

Способ 2: Использование вершинной формы уравнения параболы

Уравнение параболы с вершиной в точке $(x_в; y_в)$ и старшим коэффициентом $a$ можно записать в виде $y = a(x - x_в)^2 + y_в$.

Из исходного уравнения $y = x^2 + px + q$ видно, что старший коэффициент $a = 1$. Координаты вершины по условию равны $(x_в; y_в) = (4; 7)$.

Подставим эти значения в вершинную форму:

$y = 1 \cdot (x - 4)^2 + 7$

$y = (x - 4)^2 + 7$

Теперь раскроем скобки и приведём уравнение к стандартному виду $y = x^2 + px + q$, чтобы найти $p$ и $q$:

$y = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2) + 7$

$y = x^2 - 8x + 16 + 7$

$y = x^2 - 8x + 23$

Сравнивая полученное уравнение с исходным уравнением $y = x^2 + px + q$, путем сопоставления коэффициентов при одинаковых степенях $x$, получаем:

$p = -8$

$q = 23$

Оба способа приводят к одинаковому результату.

Ответ: $p = -8$, $q = 23$.