Номер 113, страница 22 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

113. Решите неравенство:

1) $x^2 - 5x - 36 < 0;$

2) $x^2 + 7x - 30 \ge 0;$

3) $-x^2 + 4,6x - 2,4 < 0;$

4) $-3x^2 + 4x + 4 > 0;$

5) $4x^2 - 16x \le 0;$

6) $9x^2 - 25 > 0;$

7) $4x^2 - 12x + 9 > 0;$

8) $x^2 - 14x + 49 \ge 0;$

9) $5x^2 - 2x + 1 > 0;$

10) $64x^2 - 16x + 1 \le 0;$

11) $9x^2 + 30x + 25 < 0;$

12) $2x^2 - 5x + 4 \le 0.$

1) $x^2 - 5x - 36 < 0$

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 5x - 36 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 13}{2} = -4$ и $x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 13}{2} = 9$.

Так как коэффициент при $x^2$ равен 1 (положительный), ветви параболы $y = x^2 - 5x - 36$ направлены вверх. Неравенство $x^2 - 5x - 36 < 0$ выполняется, когда парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Поскольку неравенство строгое, корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-4; 9)$.

2) $x^2 + 7x - 30 \geq 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 7x - 30 = 0$.

Дискриминант $D = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{-7 - 13}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-7 + 13}{2} = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 + 7x - 30$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $\geq 0$ выполняется, когда парабола находится на оси Ox или выше нее, то есть левее меньшего корня и правее большего корня.

Поскольку неравенство нестрогое, корни включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -10] \cup [3; \infty)$.

3) $-x^2 + 4,6x - 2,4 < 0$

Умножим обе части неравенства на -1, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 - 4,6x + 2,4 > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 4,6x + 2,4 = 0$.

Дискриминант $D = (4,6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2,4 = 21,16 - 9,6 = 11,56 = 3,4^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4,6 - 3,4}{2} = \frac{1,2}{2} = 0,6$ и $x_2 = \frac{4,6 + 3,4}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4,6x + 2,4$ направлены вверх ($a=1>0$). Неравенство $> 0$ выполняется, когда парабола находится выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Поскольку неравенство строгое, корни не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; 0,6) \cup (4; \infty)$.

4) $-3x^2 + 4x + 4 > 0$

Умножим обе части на -1 и сменим знак неравенства: $3x^2 - 4x - 4 < 0$.

Найдем корни уравнения $3x^2 - 4x - 4 = 0$.

Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 16 + 48 = 64 = 8^2$.

Корни уравнения: $x_1 = \frac{4 - 8}{2 \cdot 3} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}$ и $x_2 = \frac{4 + 8}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} = 2$.

Ветви параболы $y = 3x^2 - 4x - 4$ направлены вверх ($a=3>0$). Неравенство $< 0$ выполняется между корнями.

Неравенство строгое, поэтому корни не включаются.

Ответ: $x \in (-\frac{2}{3}; 2)$.

5) $4x^2 - 16x \leq 0$

Найдем корни уравнения $4x^2 - 16x = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки: $4x(x - 4) = 0$.

Корни: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = 4x^2 - 16x$ направлены вверх ($a=4>0$). Неравенство $\leq 0$ выполняется на оси Ox и ниже нее, то есть между корнями, включая сами корни.

Ответ: $x \in [0; 4]$.

6) $9x^2 - 25 > 0$

Найдем корни уравнения $9x^2 - 25 = 0$.

Это разность квадратов: $(3x - 5)(3x + 5) = 0$.

Корни: $x_1 = -\frac{5}{3}$ и $x_2 = \frac{5}{3}$.

Ветви параболы $y = 9x^2 - 25$ направлены вверх ($a=9>0$). Неравенство $> 0$ выполняется выше оси Ox, то есть за пределами корней.

Неравенство строгое, корни не включаются.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{3}) \cup (\frac{5}{3}; \infty)$.

7) $4x^2 - 12x + 9 > 0$

Левая часть неравенства является полным квадратом: $(2x - 3)^2$.

Получаем неравенство $(2x - 3)^2 > 0$.

Квадрат любого действительного числа, кроме нуля, всегда положителен. Выражение равно нулю при $2x - 3 = 0$, то есть при $x = \frac{3}{2}$.

Следовательно, неравенство выполняется для всех $x$, кроме $x = \frac{3}{2}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}; \infty)$.

8) $x^2 - 14x + 49 \geq 0$

Левая часть является полным квадратом: $(x - 7)^2$.

Получаем неравенство $(x - 7)^2 \geq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (больше или равен нулю). Следовательно, неравенство выполняется для любого действительного значения $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

9) $5x^2 - 2x + 1 > 0$

Найдем дискриминант уравнения $5x^2 - 2x + 1 = 0$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1 = 4 - 20 = -16$.

Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола $y = 5x^2 - 2x + 1$ не пересекает ось Ox. Коэффициент при $x^2$ равен 5 (положительный), поэтому ветви параболы направлены вверх, и вся парабола лежит выше оси Ox. Таким образом, выражение $5x^2 - 2x + 1$ всегда положительно.

Неравенство выполняется для любого действительного $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; \infty)$.

10) $64x^2 - 16x + 1 \leq 0$

Левая часть является полным квадратом: $(8x - 1)^2$.

Получаем неравенство $(8x - 1)^2 \leq 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(8x - 1)^2 \geq 0$. Единственный случай, когда это неравенство может быть выполнено, это когда $(8x - 1)^2 = 0$.

Это происходит при $8x - 1 = 0$, то есть $x = \frac{1}{8}$.

Ответ: $x = \frac{1}{8}$.

11) $9x^2 + 30x + 25 < 0$

Левая часть является полным квадратом: $(3x + 5)^2$.

Получаем неравенство $(3x + 5)^2 < 0$.

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(3x + 5)^2 \geq 0$. Он никогда не может быть строго меньше нуля.

Следовательно, у неравенства нет решений.

Ответ: Решений нет.

12) $2x^2 - 5x + 4 \leq 0$

Найдем дискриминант уравнения $2x^2 - 5x + 4 = 0$.

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7$.

Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. Коэффициент при $x^2$ равен 2 (положительный), поэтому ветви параболы $y = 2x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, и вся парабола лежит выше оси Ox. Это означает, что выражение $2x^2 - 5x + 4$ всегда положительно.

Неравенство $\leq 0$ никогда не выполняется.

Ответ: Решений нет.