Номер 119, страница 23 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

119. Найдите целые решения системы неравенств:

1) $ \begin{cases} x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x \ge -3; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x^2 - 5x \le 0, \\ -0,6x + 1,2 > 0; \end{cases} $

3) $ \begin{cases} x^2 - 14x + 45 \ge 0, \\ 3,2 \le x \le 11,7; \end{cases} $

4) $ \begin{cases} x^2 - (\sqrt{7} - 2)x - 2\sqrt{7} \le 0, \\ -x^2 + 4,8x + 1 \ge 0. \end{cases} $

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 + 5x - 6 < 0, \\ x \ge -3. \end{cases}$

Сначала решим первое неравенство $x^2 + 5x - 6 < 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно -6, а их сумма -5. Корни равны $x_1 = -6$ и $x_2 = 1$. Так как коэффициент при $x^2$ положительный (ветви параболы направлены вверх), неравенство выполняется на интервале между корнями. Таким образом, решение первого неравенства: $-6 < x < 1$.

Второе неравенство системы $x \ge -3$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств: $(-6, 1) \cap [-3, \infty)$. Общим решением системы является промежуток $[-3, 1)$.

Целые решения, принадлежащие этому промежутку: -3, -2, -1, 0.

Ответ: -3, -2, -1, 0.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} 3x^2 - 5x \le 0, \\ -0.6x + 1.2 > 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $3x^2 - 5x \le 0$. Вынесем $x$ за скобки: $x(3x - 5) \le 0$. Корни уравнения $x(3x-5)=0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = 5/3$. Ветви параболы $y = 3x^2 - 5x$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями, включая их: $0 \le x \le 5/3$.

Решим второе неравенство $-0.6x + 1.2 > 0$. Перенесем 1.2 в правую часть: $-0.6x > -1.2$. Разделим обе части на -0.6, изменив знак неравенства на противоположный: $x < 2$.

Найдем пересечение решений: $[0, 5/3] \cap (-\infty, 2)$. Так как $5/3 < 2$, общим решением является промежуток $[0, 5/3]$.

Найдем целые числа, принадлежащие этому промежутку. Учитывая, что $5/3 \approx 1.67$, целыми решениями являются 0 и 1.

Ответ: 0, 1.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - 14x + 45 \ge 0, \\ 3.2 \le x \le 11.7. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - 14x + 45 \ge 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 14x + 45 = 0$. По теореме Виета, произведение корней равно 45, а их сумма 14. Корни равны $x_1 = 5$ и $x_2 = 9$. Ветви параболы $y = x^2 - 14x + 45$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при значениях $x$ вне промежутка между корнями: $x \le 5$ или $x \ge 9$.

Решение второго неравенства уже дано: $3.2 \le x \le 11.7$.

Найдем пересечение множеств $(-\infty, 5] \cup [9, \infty)$ и $[3.2, 11.7]$. Пересечение состоит из двух промежутков: $[3.2, 5]$ и $[9, 11.7]$.

Найдем целые числа из этих промежутков. Из $[3.2, 5]$ получаем целые числа 4, 5. Из $[9, 11.7]$ получаем целые числа 9, 10, 11.

Ответ: 4, 5, 9, 10, 11.

Решим систему неравенств: $\begin{cases} x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} \le 0, \\ -x^2 + 4.8x + 1 \ge 0. \end{cases}$

Решим первое неравенство $x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - (\sqrt{7}-2)x - 2\sqrt{7} = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $\sqrt{7}-2$, а их произведение $-2\sqrt{7}$. Этим условиям удовлетворяют числа $x_1 = -2$ и $x_2 = \sqrt{7}$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-2 \le x \le \sqrt{7}$.

Решим второе неравенство $-x^2 + 4.8x + 1 \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства: $x^2 - 4.8x - 1 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 4.8x - 1 = 0$ с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = (-4.8)^2 - 4(1)(-1) = 23.04 + 4 = 27.04$. Корень из дискриминанта $\sqrt{27.04} = 5.2$. Корни уравнения: $x_1 = \frac{4.8 - 5.2}{2} = -0.2$ и $x_2 = \frac{4.8 + 5.2}{2} = 5$. Ветви параболы $y=x^2-4.8x-1$ направлены вверх, поэтому решение неравенства находится между корнями: $-0.2 \le x \le 5$.

Найдем пересечение решений: $[-2, \sqrt{7}] \cap [-0.2, 5]$. Учитывая, что $2 < \sqrt{7} < 3$ (примерно 2.65), пересечением является промежуток $[-0.2, \sqrt{7}]$.

Найдем целые числа, принадлежащие этому промежутку. Это числа 0, 1, 2.

Ответ: 0, 1, 2.