Номер 126, страница 24 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

126. Решите неравенство:

1) $|x^2 - x - 3| < 9$

2) $|x^2 + 5x| > 6$

3) $|x - 4|(x + 2) \geq 4x$

4) $x^2 - 4|x| < 12$

5) $x^2 - 5x + 9 > |x - 6|$

6) $x^2 + 2|x - 1| + 7 \leq 4|x - 2|$

1) $|x^2 - x - 3| < 9$

Неравенство вида $|f(x)| < a$ (где $a > 0$) равносильно системе неравенств $-a < f(x) < a$.

$-9 < x^2 - x - 3 < 9$

Это эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} x^2 - x - 3 > -9 \\ x^2 - x - 3 < 9 \end{cases}$

Решим первое неравенство:

$x^2 - x - 3 > -9$

$x^2 - x + 6 > 0$

Найдем дискриминант квадратного трехчлена $x^2 - x + 6$:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1 - 24 = -23$.

Так как $D < 0$ и старший коэффициент $a=1 > 0$, то парабола $y = x^2 - x + 6$ полностью лежит выше оси Ox. Следовательно, неравенство $x^2 - x + 6 > 0$ выполняется для всех действительных значений $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 - x - 3 < 9$

$x^2 - x - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 4$ и $x_2 = -3$.

Так как ветви параболы $y = x^2 - x - 12$ направлены вверх, неравенство $x^2 - x - 12 < 0$ выполняется между корнями.

Решение: $x \in (-3; 4)$.

Решением исходной системы является пересечение решений двух неравенств: $(-\infty; +\infty) \cap (-3; 4) = (-3; 4)$.

Ответ: $x \in (-3; 4)$.

2) $|x^2 + 5x| > 6$

Неравенство вида $|f(x)| > a$ (где $a > 0$) равносильно совокупности двух неравенств: $f(x) > a$ или $f(x) < -a$.

$\begin{bmatrix} x^2 + 5x > 6 \\ x^2 + 5x < -6 \end{bmatrix}$

Решим первое неравенство:

$x^2 + 5x - 6 > 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x - 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -6$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется за пределами корней. Решение: $x \in (-\infty; -6) \cup (1; +\infty)$.

Решим второе неравенство:

$x^2 + 5x < -6$

$x^2 + 5x + 6 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями. Решение: $x \in (-3; -2)$.

Общим решением является объединение решений двух неравенств: $(-\infty; -6) \cup (1; +\infty) \cup (-3; -2)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -6) \cup (-3; -2) \cup (1; +\infty)$.

3) $|x - 4|(x + 2) \ge 4x$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 4 \ge 0$, то есть $x \ge 4$.

В этом случае $|x - 4| = x - 4$. Неравенство принимает вид:

$(x - 4)(x + 2) \ge 4x$

$x^2 - 2x - 8 \ge 4x$

$x^2 - 6x - 8 \ge 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 6x - 8 = 0$ через дискриминант:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$

$x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 3 - \sqrt{17}] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Учитывая условие $x \ge 4$, найдем пересечение. Так как $4 < \sqrt{17} < 5$, то $3 - \sqrt{17} < 0$ и $3 + \sqrt{17} > 7$. Следовательно, решение для этого случая: $x \in [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Случай 2: $x - 4 < 0$, то есть $x < 4$.

В этом случае $|x - 4| = -(x - 4) = 4 - x$. Неравенство принимает вид:

$(4 - x)(x + 2) \ge 4x$

$-x^2 + 2x + 8 \ge 4x$

$-x^2 - 2x + 8 \ge 0$

$x^2 + 2x - 8 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x - 8 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -4$.

Решение неравенства: $x \in [-4; 2]$.

Учитывая условие $x < 4$, решение для этого случая: $x \in [-4; 2]$.

Объединим решения обоих случаев: $[-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

Ответ: $x \in [-4; 2] \cup [3 + \sqrt{17}; +\infty)$.

4) $x^2 - 4|x| < 12$

Так как $x^2 = |x|^2$, можно сделать замену $t = |x|$, где $t \ge 0$.

$t^2 - 4t < 12$

$t^2 - 4t - 12 < 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 4t - 12 = 0$. По теореме Виета, корни $t_1 = 6$ и $t_2 = -2$.

Решение неравенства для $t$: $t \in (-2; 6)$.

Учитывая условие $t \ge 0$, получаем $0 \le t < 6$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 \le |x| < 6$

Это неравенство равносильно $|x| < 6$, что в свою очередь равносильно $-6 < x < 6$.

Ответ: $x \in (-6; 6)$.

5) $x^2 - 5x + 9 > |x - 6|$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 6 \ge 0$, то есть $x \ge 6$.

$|x - 6| = x - 6$.

$x^2 - 5x + 9 > x - 6$

$x^2 - 6x + 15 > 0$

Дискриминант $D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 36 - 60 = -24 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 6x + 15$ всегда положителен. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.

С учетом условия $x \ge 6$, получаем решение для этого случая: $x \in [6; +\infty)$.

Случай 2: $x - 6 < 0$, то есть $x < 6$.

$|x - 6| = -(x - 6) = 6 - x$.

$x^2 - 5x + 9 > 6 - x$

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Решение неравенства: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

С учетом условия $x < 6$, получаем решение для этого случая: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; 6)$.

Объединим решения обоих случаев: $((-\infty; 1) \cup (3; 6)) \cup [6; +\infty) = (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$.

6) $x^2 + 2|x - 1| + 7 \le 4|x - 2|$

Рассмотрим три интервала, на которые числовую ось делят точки $x=1$ и $x=2$.

Случай 1: $x < 1$.

На этом интервале $|x - 1| = -(x - 1) = 1 - x$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

$x^2 + 2(1 - x) + 7 \le 4(2 - x)$

$x^2 - 2x + 9 \le 8 - 4x$

$x^2 + 2x + 1 \le 0$

$(x + 1)^2 \le 0$

Квадрат действительного числа не может быть отрицательным, поэтому неравенство выполняется только при $(x+1)^2 = 0$, то есть $x = -1$.

Значение $x = -1$ удовлетворяет условию $x < 1$, значит, является решением.

Случай 2: $1 \le x < 2$.

На этом интервале $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = -(x - 2) = 2 - x$.

$x^2 + 2(x - 1) + 7 \le 4(2 - x)$

$x^2 + 2x + 5 \le 8 - 4x$

$x^2 + 6x - 3 \le 0$

Корни уравнения $x^2 + 6x - 3 = 0$: $x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(-3)}}{2} = -3 \pm 2\sqrt{3}$.

Решение неравенства: $x \in [-3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}]$.

Так как $-3 + 2\sqrt{3} \approx -3 + 2 \cdot 1.73 = 0.46 < 1$, интервал $[-3 - 2\sqrt{3}; -3 + 2\sqrt{3}]$ не имеет общих точек с интервалом $[1; 2)$. В этом случае решений нет.

Случай 3: $x \ge 2$.

На этом интервале $|x - 1| = x - 1$ и $|x - 2| = x - 2$.

$x^2 + 2(x - 1) + 7 \le 4(x - 2)$

$x^2 + 2x + 5 \le 4x - 8$

$x^2 - 2x + 13 \le 0$

Дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 4 - 52 = -48 < 0$. Так как старший коэффициент положителен, трехчлен $x^2 - 2x + 13$ всегда положителен. Неравенство не имеет решений.

Объединяя решения всех случаев, получаем единственное решение $x = -1$.

Ответ: $\{-1\}$.