Номер 133, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

133. Решите систему уравнений:

1) $ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases} $

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - 5xy + 6y^2 = 0, \\ 3x^2 + 2xy - y^2 = 15. \end{cases} $$

Первое уравнение системы является однородным. Решим его, разложив левую часть на множители. Рассмотрим выражение $x^2 - 5xy + 6y^2$ как квадратный трехчлен относительно $x$.

Найдем его корни по формуле для квадратного уравнения:

$$ x = \frac{5y \pm \sqrt{(-5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{25y^2 - 24y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{y^2}}{2} = \frac{5y \pm y}{2} $$

Отсюда получаем два корня: $x_1 = \frac{5y+y}{2} = 3y$ и $x_2 = \frac{5y-y}{2} = 2y$.

Таким образом, первое уравнение можно записать в виде $(x-3y)(x-2y)=0$. Это означает, что либо $x-3y=0$ (т.е. $x=3y$), либо $x-2y=0$ (т.е. $x=2y$).

Рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения во второе уравнение системы $3x^2 + 2xy - y^2 = 15$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x=2y$ во второе уравнение:

$$ 3(2y)^2 + 2(2y)y - y^2 = 15 $$

$$ 3(4y^2) + 4y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 12y^2 + 4y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 15y^2 = 15 $$

$$ y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1 $$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2y_1 = 2(1) = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2y_2 = 2(-1) = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = 3y$

Подставляем $x=3y$ во второе уравнение:

$$ 3(3y)^2 + 2(3y)y - y^2 = 15 $$

$$ 3(9y^2) + 6y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 27y^2 + 6y^2 - y^2 = 15 $$

$$ 32y^2 = 15 $$

$$ y^2 = \frac{15}{32} \implies y_3 = \sqrt{\frac{15}{32}} = \frac{\sqrt{15}}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{30}}{8}, \quad y_4 = -\frac{\sqrt{30}}{8} $$

Если $y_3 = \frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x_3 = 3y_3 = \frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$.

Если $y_4 = -\frac{\sqrt{30}}{8}$, то $x_4 = 3y_4 = -\frac{3\sqrt{30}}{8}$. Получаем решение $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(\frac{3\sqrt{30}}{8}, \frac{\sqrt{30}}{8})$, $(-\frac{3\sqrt{30}}{8}, -\frac{\sqrt{30}}{8})$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 - 2xy - y^2 = 7, \\ x^2 + xy + 8y^2 = 14. \end{cases} $$

Оба уравнения системы являются однородными. Чтобы решить такую систему, можно избавиться от свободных членов. Для этого умножим обе части первого уравнения на 2, чтобы правые части уравнений стали равны:

$$ 2(3x^2 - 2xy - y^2) = 2 \cdot 7 $$

$$ 6x^2 - 4xy - 2y^2 = 14 $$

Теперь мы можем приравнять левые части полученного уравнения и второго уравнения исходной системы, так как их правые части равны 14:

$$ 6x^2 - 4xy - 2y^2 = x^2 + xy + 8y^2 $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить однородное уравнение, равное нулю:

$$ 5x^2 - 5xy - 10y^2 = 0 $$

Разделим обе части уравнения на 5:

$$ x^2 - xy - 2y^2 = 0 $$

Разложим левую часть на множители: $(x-2y)(x+y)=0$.

Отсюда следует, что либо $x-2y=0$ (т.е. $x=2y$), либо $x+y=0$ (т.е. $x=-y$).

Рассмотрим два случая, подставляя полученные соотношения в одно из исходных уравнений, например, во второе: $x^2 + xy + 8y^2 = 14$.

Случай 1: $x = 2y$

Подставляем $x=2y$ в уравнение $x^2 + xy + 8y^2 = 14$:

$$ (2y)^2 + (2y)y + 8y^2 = 14 $$

$$ 4y^2 + 2y^2 + 8y^2 = 14 $$

$$ 14y^2 = 14 $$

$$ y^2 = 1 \implies y_1 = 1, y_2 = -1 $$

Если $y_1 = 1$, то $x_1 = 2y_1 = 2$. Получаем решение $(2, 1)$.

Если $y_2 = -1$, то $x_2 = 2y_2 = -2$. Получаем решение $(-2, -1)$.

Случай 2: $x = -y$

Подставляем $x=-y$ в уравнение $x^2 + xy + 8y^2 = 14$:

$$ (-y)^2 + (-y)y + 8y^2 = 14 $$

$$ y^2 - y^2 + 8y^2 = 14 $$

$$ 8y^2 = 14 $$

$$ y^2 = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} \implies y_3 = \frac{\sqrt{7}}{2}, y_4 = -\frac{\sqrt{7}}{2} $$

Если $y_3 = \frac{\sqrt{7}}{2}$, то $x_3 = -y_3 = -\frac{\sqrt{7}}{2}$. Получаем решение $(-\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2})$.

Если $y_4 = -\frac{\sqrt{7}}{2}$, то $x_4 = -y_4 = \frac{\sqrt{7}}{2}$. Получаем решение $(\frac{\sqrt{7}}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})$.

Ответ: $(2, 1)$, $(-2, -1)$, $(-\frac{\sqrt{7}}{2}, \frac{\sqrt{7}}{2})$, $(\frac{\sqrt{7}}{2}, -\frac{\sqrt{7}}{2})$.