Номер 132, страница 25 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3y^2 = 13, \\ xy = -4; \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$ (при условии, что $y \neq 0$):

$x = -\frac{4}{y}$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(-\frac{4}{y})^2 - 3y^2 = 13$

$\frac{16}{y^2} - 3y^2 = 13$

Умножим обе части уравнения на $y^2$:

$16 - 3y^4 = 13y^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить биквадратное уравнение:

$3y^4 + 13y^2 - 16 = 0$

Введем замену $t = y^2$, где $t \ge 0$. Уравнение примет вид:

$3t^2 + 13t - 16 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$, используя формулу для корней:

$t = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-16)}}{2 \cdot 3} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 192}}{6} = \frac{-13 \pm \sqrt{361}}{6} = \frac{-13 \pm 19}{6}$

Получаем два значения для $t$:

$t_1 = \frac{-13 + 19}{6} = \frac{6}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-13 - 19}{6} = \frac{-32}{6} = -\frac{16}{3}$

Поскольку $t = y^2$, $t$ не может быть отрицательным, поэтому корень $t_2$ не подходит.

Возвращаемся к замене: $y^2 = 1$. Отсюда $y_1 = 1$ и $y_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $x$ из $x = -4/y$:

При $y_1 = 1$, $x_1 = -4/1 = -4$.

При $y_2 = -1$, $x_2 = -4/(-1) = 4$.

Таким образом, решениями системы являются пары чисел $(-4, 1)$ и $(4, -1)$.

Ответ: $(-4, 1), (4, -1)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + y - xy = -2, \\ xy(x + y) = 48; \end{cases} $

Введем замену переменных. Пусть $a = x+y$ и $b = xy$. Система примет вид:

$ \begin{cases} a - b = -2, \\ ab = 48; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $a$: $a = b - 2$. Подставим во второе уравнение:

$(b - 2)b = 48$

$b^2 - 2b - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $b_1 = 8$ и $b_2 = -6$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $b = 8$, то $a = 8 - 2 = 6$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x + y = 6, \\ xy = 8; \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 6t + 8 = 0$. Корни этого уравнения $t_1=2, t_2=4$. Следовательно, решениями являются пары $(2, 4)$ и $(4, 2)$.

2. Если $b = -6$, то $a = -6 - 2 = -8$. Возвращаемся к исходным переменным:

$ \begin{cases} x + y = -8, \\ xy = -6; \end{cases} $

$x$ и $y$ являются корнями уравнения $t^2 - (-8)t + (-6) = 0$, то есть $t^2 + 8t - 6 = 0$.

$t = \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 24}}{2} = \frac{-8 \pm \sqrt{88}}{2} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{22}}{2} = -4 \pm \sqrt{22}$

Следовательно, решениями являются пары $(-4 + \sqrt{22}, -4 - \sqrt{22})$ и $(-4 - \sqrt{22}, -4 + \sqrt{22})$.

Ответ: $(2, 4), (4, 2), (-4 + \sqrt{22}, -4 - \sqrt{22}), (-4 - \sqrt{22}, -4 + \sqrt{22})$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^3 + y^3 = 7, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases} $

Воспользуемся формулой суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)(x^2 - xy + y^2)$.

Подставим в первое уравнение значение $x^2 - xy + y^2$ из второго уравнения:

$(x+y) \cdot 7 = 7$

Отсюда получаем, что $x+y = 1$.

Теперь система уравнений стала проще:

$ \begin{cases} x + y = 1, \\ x^2 - xy + y^2 = 7; \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 1 - x$. Подставим во второе уравнение:

$x^2 - x(1-x) + (1-x)^2 = 7$

$x^2 - x + x^2 + 1 - 2x + x^2 = 7$

$3x^2 - 3x + 1 = 7$

$3x^2 - 3x - 6 = 0$

Разделим уравнение на 3:

$x^2 - x - 2 = 0$

Корни этого квадратного уравнения $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Найдем соответствующие значения $y$:

При $x_1 = 2$, $y_1 = 1 - 2 = -1$.

При $x_2 = -1$, $y_2 = 1 - (-1) = 2$.

Таким образом, решениями системы являются пары $(2, -1)$ и $(-1, 2)$.

Ответ: $(2, -1), (-1, 2)$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{1}{2}, \\ 2x - 3y = 3; \end{cases} $

Область допустимых значений: $x \neq 0, y \neq 0$.

Преобразуем первое уравнение:

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{5}{2}$

$2(x^2 + y^2) = 5xy$

$2x^2 - 5xy + 2y^2 = 0$

Это однородное уравнение. Разделим его на $y^2 \neq 0$:

$2(\frac{x}{y})^2 - 5(\frac{x}{y}) + 2 = 0$

Пусть $t = \frac{x}{y}$. Уравнение примет вид:

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

$t = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4}$

$t_1 = 2, t_2 = \frac{1}{2}$

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{x}{y} = 2$, откуда $x = 2y$. Подставим во второе уравнение системы:

$2(2y) - 3y = 3 \implies 4y - 3y = 3 \implies y = 3$

Тогда $x = 2 \cdot 3 = 6$. Получили решение $(6, 3)$.

2. $\frac{x}{y} = \frac{1}{2}$, откуда $x = \frac{y}{2}$. Подставим во второе уравнение системы:

$2(\frac{y}{2}) - 3y = 3 \implies y - 3y = 3 \implies -2y = 3 \implies y = -\frac{3}{2}$

Тогда $x = \frac{-3/2}{2} = -\frac{3}{4}$. Получили решение $(-\frac{3}{4}, -\frac{3}{2})$.

Ответ: $(6, 3), (-\frac{3}{4}, -\frac{3}{2})$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{2}{x - 2y} + \frac{1}{x + 2y} = 7, \\ \frac{15}{x - 2y} - \frac{2}{x + 2y} = 24; \end{cases} $

Введем замену переменных: $a = \frac{1}{x-2y}$, $b = \frac{1}{x+2y}$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a + b = 7, \\ 15a - 2b = 24; \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого уравнения $b = 7 - 2a$. Подставим во второе:

$15a - 2(7 - 2a) = 24$

$15a - 14 + 4a = 24$

$19a = 38 \implies a = 2$

Тогда $b = 7 - 2(2) = 3$.

Выполним обратную замену:

$\frac{1}{x-2y} = 2 \implies x - 2y = \frac{1}{2}$

$\frac{1}{x+2y} = 3 \implies x + 2y = \frac{1}{3}$

Получили новую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} x - 2y = \frac{1}{2}, \\ x + 2y = \frac{1}{3}; \end{cases} $

Сложим эти два уравнения: $2x = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{3+2}{6} = \frac{5}{6}$, откуда $x = \frac{5}{12}$.

Вычтем первое уравнение из второго: $4y = \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2-3}{6} = -\frac{1}{6}$, откуда $y = -\frac{1}{24}$.

Ответ: $(\frac{5}{12}, -\frac{1}{24})$.

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} \frac{x+y}{x-y} - \frac{2(x-y)}{x+y} = 1, \\ x^2 - 5xy + 2y^2 = 4; \end{cases} $

ОДЗ: $x-y \neq 0$ и $x+y \neq 0$, то есть $x \neq y$ и $x \neq -y$.

В первом уравнении введем замену $t = \frac{x+y}{x-y}$. Тогда $\frac{x-y}{x+y} = \frac{1}{t}$. Уравнение примет вид:

$t - \frac{2}{t} = 1$

Умножим на $t \neq 0$:

$t^2 - 2 = t$

$t^2 - t - 2 = 0$

Корни этого уравнения $t_1 = 2$ и $t_2 = -1$.

Рассмотрим два случая:

1. $\frac{x+y}{x-y} = 2$

$x+y = 2(x-y) \implies x+y = 2x - 2y \implies x = 3y$

Подставим $x=3y$ во второе уравнение системы:

$(3y)^2 - 5(3y)y + 2y^2 = 4$

$9y^2 - 15y^2 + 2y^2 = 4$

$-4y^2 = 4 \implies y^2 = -1$

Это уравнение не имеет действительных решений.

2. $\frac{x+y}{x-y} = -1$

$x+y = -(x-y) \implies x+y = -x + y \implies 2x = 0 \implies x = 0$

Подставим $x=0$ во второе уравнение системы:

$0^2 - 5(0)y + 2y^2 = 4$

$2y^2 = 4 \implies y^2 = 2 \implies y = \pm\sqrt{2}$

Получили два решения: $(0, \sqrt{2})$ и $(0, -\sqrt{2})$. Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(0, \sqrt{2}), (0, -\sqrt{2})$.