Номер 139, страница 26 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

139. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 6 км, вышли навстречу друг другу два пешехода, которые встретились на середине пути, причём один из них вышел на 15 мин позже другого. Если бы они вышли одновременно, то встретились бы через 36 мин. Найдите скорость каждого пешехода.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно, выраженные в км/ч.

Общее расстояние между сёлами $S = 6$ км.

Анализ условия об одновременном выходе

Если бы пешеходы вышли одновременно, они бы встретились через 36 минут. Переведём время в часы: $t = 36 \text{ мин} = \frac{36}{60} \text{ ч} = 0,6$ ч.

При движении навстречу друг другу их скорость сближения равна сумме их скоростей $v_1 + v_2$. Расстояние, которое они проходят вместе до встречи, равно общему расстоянию $S$. Используем формулу $S = v \cdot t$:

$S = (v_1 + v_2) \cdot t$

$6 = (v_1 + v_2) \cdot 0,6$

Отсюда можем найти сумму их скоростей:

$v_1 + v_2 = \frac{6}{0,6} = 10$ (км/ч)

Это первое уравнение системы.

Анализ условия о разновременном выходе

Пешеходы встретились на середине пути. Это значит, что каждый из них прошёл половину расстояния, то есть $S/2 = 6/2 = 3$ км.

Один из них вышел на 15 минут позже другого. Переведём разницу во времени в часы: $\Delta t = 15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = 0,25$ ч.

Время, которое затратил первый пешеход на свой путь, равно $t_1 = \frac{3}{v_1}$.

Время, которое затратил второй пешеход на свой путь, равно $t_2 = \frac{3}{v_2}$.

Поскольку один из них вышел на 15 минут позже, но они встретились в одно и то же время, разница во времени, которое они провели в пути, составляет 0,25 часа. Пешеход с меньшей скоростью был в пути дольше. Допустим, $v_1$ - скорость того, кто был в пути дольше. Тогда:

$t_1 - t_2 = 0,25$

$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,25$

Это второе уравнение системы.

Решение системы уравнений

Мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} v_1 + v_2 = 10 \\ \frac{3}{v_1} - \frac{3}{v_2} = 0,25 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_2$: $v_2 = 10 - v_1$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{3}{v_1} - \frac{3}{10 - v_1} = 0,25$

Приведём дроби в левой части к общему знаменателю $v_1(10 - v_1)$:

$\frac{3(10 - v_1) - 3v_1}{v_1(10 - v_1)} = 0,25$

$\frac{30 - 3v_1 - 3v_1}{10v_1 - v_1^2} = 0,25$

$\frac{30 - 6v_1}{10v_1 - v_1^2} = \frac{1}{4}$

Используя свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних), получаем:

$4(30 - 6v_1) = 1(10v_1 - v_1^2)$

$120 - 24v_1 = 10v_1 - v_1^2$

Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v_1^2 - 10v_1 - 24v_1 + 120 = 0$

$v_1^2 - 34v_1 + 120 = 0$

Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 34, а их произведение равно 120. Подбором находим корни: 30 и 4.

$v_{1,1} = 30$ и $v_{1,2} = 4$.

Рассмотрим оба возможных решения:

1. Если $v_1 = 30$ км/ч, то $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 30 = -20$ км/ч. Скорость не может быть отрицательной, следовательно, этот корень не является решением задачи.

2. Если $v_1 = 4$ км/ч, то $v_2 = 10 - v_1 = 10 - 4 = 6$ км/ч. Обе скорости положительны, что является физически осмысленным решением.

Проверим найденные скорости. Время первого для прохождения 3 км: $t_1 = 3/4$ ч = 45 мин. Время второго: $t_2 = 3/6$ ч = 0,5 ч = 30 мин. Разница во времени: $45 - 30 = 15$ мин, что соответствует условию.

Таким образом, скорости пешеходов равны 4 км/ч и 6 км/ч.

Ответ: 4 км/ч и 6 км/ч.