Номер 146, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Из двух городов, расстояние между которыми равно $300 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через $2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на $3 \text{ ч } 45 \text{ мин}$ больше, чем легковой автомобиль.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — скорость грузового автомобиля в км/ч.

Расстояние между городами $S = 300$ км.

Переведем временные интервалы в часы для удобства расчетов:

• Время до встречи: $t_{встречи} = 2$ ч $30$ мин $= 2 + \frac{30}{60}$ ч $= 2.5$ часа.
• Разница во времени на весь путь: $\Delta t = 3$ ч $45$ мин $= 3 + \frac{45}{60}$ ч $= 3 + \frac{3}{4}$ ч $= 3.75$ часа.

1. Составим первое уравнение, используя данные о встрече.

Автомобили движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = v_л + v_г$. За время $t_{встречи}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.

Используем формулу пути: $S = v_{сближения} \cdot t_{встречи}$

$300 = (v_л + v_г) \cdot 2.5$

Отсюда найдем сумму скоростей:

$v_л + v_г = \frac{300}{2.5} = 120$

Это наше первое уравнение: $v_л + v_г = 120$.

2. Составим второе уравнение, используя данные о разнице во времени.

Время, которое легковой автомобиль тратит на весь путь $S = 300$ км, равно $t_л = \frac{S}{v_л} = \frac{300}{v_л}$.

Время, которое грузовой автомобиль тратит на весь путь $S = 300$ км, равно $t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{300}{v_г}$.

По условию, грузовик был в пути дольше на $\Delta t = 3.75$ часа, значит: $t_г - t_л = 3.75$.

Подставим выражения для времени:

$\frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

3. Решим полученную систему уравнений.

Система выглядит так:

$\begin{cases} v_л + v_г = 120 \\ \frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_г$: $v_г = 120 - v_л$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{300}{120 - v_л} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{300v_л - 300(120 - v_л)}{v_л(120 - v_л)} = 3.75$

$\frac{300v_л - 36000 + 300v_л}{120v_л - v_л^2} = 3.75$

$\frac{600v_л - 36000}{120v_л - v_л^2} = 3.75$

Умножим обе части на знаменатель (при условии, что $v_л \neq 0$ и $v_л \neq 120$):

$600v_л - 36000 = 3.75(120v_л - v_л^2)$

$600v_л - 36000 = 450v_л - 3.75v_л^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3.75v_л^2 + 150v_л - 36000 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби $3.75 = \frac{15}{4}$:

$15v_л^2 + 600v_л - 144000 = 0$

Разделим все уравнение на 15:

$v_л^2 + 40v_л - 9600 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9600) = 1600 + 38400 = 40000$

$\sqrt{D} = \sqrt{40000} = 200$

Найдем корни:

$v_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 200}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 200}{2} = \frac{-240}{2} = -120$

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит. Следовательно, скорость легкового автомобиля $v_л = 80$ км/ч.

4. Найдем скорость грузового автомобиля.

Используем первое уравнение $v_г = 120 - v_л$:

$v_г = 120 - 80 = 40$ км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 40 км/ч.