Номер 148, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

148. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали соответственно мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист прибыл в $B$ через 36 мин после встречи, а велосипедист в $A$ — через 3 ч 45 мин после встречи. За какое время каждый из них проедет расстояние между $A$ и $B$?

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста, а $v_в$ — скорость велосипедиста. Пусть $t$ — время в минутах, которое они двигались от начала пути до момента встречи.

Согласно условию, мотоциклист прибыл в пункт В через 36 минут после встречи. Обозначим это время как $t_м = 36$ мин.

Велосипедист прибыл в пункт А через 3 часа 45 минут после встречи. Переведем это время в минуты для удобства расчетов: $t_в = 3 \cdot 60 + 45 = 180 + 45 = 225$ мин.

До момента встречи мотоциклист проехал расстояние от А до места встречи. Обозначим его $S_1$. Это расстояние равно $S_1 = v_м \cdot t$. После встречи это же расстояние ($S_1$) проехал велосипедист за время $t_в$. Следовательно, $S_1 = v_в \cdot t_в = v_в \cdot 225$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $v_м \cdot t = v_в \cdot 225$.

Аналогично, до момента встречи велосипедист проехал расстояние от В до места встречи. Обозначим его $S_2$. Это расстояние равно $S_2 = v_в \cdot t$. После встречи это же расстояние ($S_2$) проехал мотоциклист за время $t_м$. Следовательно, $S_2 = v_м \cdot t_м = v_м \cdot 36$. Таким образом, мы можем составить второе уравнение: $v_в \cdot t = v_м \cdot 36$.

Из полученных уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{225}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{36}$

Поскольку левые части этих выражений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{225}{t} = \frac{t}{36}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, чтобы найти время до встречи:

$t^2 = 225 \cdot 36$

$t = \sqrt{225 \cdot 36} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{36} = 15 \cdot 6 = 90$ минут.

Итак, время от начала движения до встречи составило 90 минут.

Теперь найдем общее время, которое каждый из них затратил на весь путь от А до В.

Общее время мотоциклиста $T_м$ складывается из времени движения до встречи ($t$) и времени движения после встречи ($t_м$):

$T_м = t + t_м = 90 + 36 = 126$ минут.

Переведем это время в часы и минуты: $126$ мин = $2$ ч $6$ мин.

Общее время велосипедиста $T_в$ складывается из времени движения до встречи ($t$) и времени движения после встречи ($t_в$):

$T_в = t + t_в = 90 + 225 = 315$ минут.

Переведем это время в часы и минуты: $315$ мин = $5$ ч $15$ мин.

Ответ: мотоциклист проедет расстояние между А и В за 2 часа 6 минут, а велосипедист — за 5 часов 15 минут.