Номер 154, страница 29 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

154. К сплаву меди и цинка, содержавшему 10 кг меди и не более 10 кг цинка, добавили 4 кг меди. В результате этого процентное содержание меди в сплаве увеличилось на 7,5 %. Какой была первоначальная масса сплава?

Пусть первоначальная масса цинка в сплаве была $x$ кг. По условию задачи, масса цинка была не более 10 кг, следовательно, $0 < x \le 10$.

Первоначальная масса всего сплава составляла $10 + x$ кг.
Процентное содержание меди в первоначальном сплаве было равно:
$P_1 = \frac{10}{10+x} \times 100\%$

После того как к сплаву добавили 4 кг меди, масса меди в нем стала $10 + 4 = 14$ кг, а общая масса сплава стала $(10 + x) + 4 = 14 + x$ кг.
Новое процентное содержание меди в сплаве стало:
$P_2 = \frac{14}{14+x} \times 100\%$

По условию, процентное содержание меди увеличилось на 7,5%, это означает, что $P_2 - P_1 = 7,5$.
Составим и решим уравнение:
$\frac{14}{14+x} \times 100 - \frac{10}{10+x} \times 100 = 7,5$

Разделим обе части уравнения на 100:
$\frac{14}{14+x} - \frac{10}{10+x} = 0,075$
Представим 0,075 в виде обыкновенной дроби: $0,075 = \frac{75}{1000} = \frac{3}{40}$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
$\frac{14(10+x) - 10(14+x)}{(14+x)(10+x)} = \frac{3}{40}$
$\frac{140 + 14x - 140 - 10x}{(14+x)(10+x)} = \frac{3}{40}$
$\frac{4x}{x^2 + 10x + 14x + 140} = \frac{3}{40}$
$\frac{4x}{x^2 + 24x + 140} = \frac{3}{40}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$4x \cdot 40 = 3(x^2 + 24x + 140)$
$160x = 3x^2 + 72x + 420$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$3x^2 + 72x - 160x + 420 = 0$
$3x^2 - 88x + 420 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = (-88)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 420 = 7744 - 5040 = 2704$
$\sqrt{D} = \sqrt{2704} = 52$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{88 + 52}{2 \cdot 3} = \frac{140}{6} = \frac{70}{3}$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{88 - 52}{2 \cdot 3} = \frac{36}{6} = 6$

Теперь проверим корни на соответствие условию задачи $x \le 10$.
Корень $x_1 = \frac{70}{3} = 23\frac{1}{3}$ не удовлетворяет условию, так как $23\frac{1}{3} > 10$.
Корень $x_2 = 6$ удовлетворяет условию, так как $6 \le 10$.
Следовательно, первоначальная масса цинка в сплаве была 6 кг.

Первоначальная масса сплава равна сумме масс меди и цинка:
$10 \text{ кг} + 6 \text{ кг} = 16 \text{ кг}$.

Ответ: 16 кг.