Номер 153, страница 28 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

153. Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а в следующем году банковский процент был увеличен на 2 %. В конце второго года на счёте оказалось 66 144 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Для решения этой задачи составим уравнение, описывающее изменение суммы вклада в течение двух лет.

Пусть $S_0$ — первоначальная сумма вклада, $S_2$ — сумма вклада через два года, а $x$ — процентная ставка в первый год (в процентах).

По условию задачи:
$S_0 = 60\ 000$ р.
$S_2 = 66\ 144$ р.

Сумма вклада после первого года ($S_1$) вычисляется по формуле сложных процентов:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})$

На второй год процентная ставка была увеличена на 2 %, то есть она стала равна $(x + 2) \%$.
Сумма вклада через два года ($S_2$) вычисляется на основе суммы $S_1$, которая стала новой базой для начисления процентов:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{x+2}{100}) = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$

Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение:
$66\ 144 = 60\ 000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$

Разделим обе части уравнения на 60 000:
$\frac{66\ 144}{60\ 000} = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$
$1.1024 = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x}{100} + \frac{2}{100})$

Для удобства введем замену: пусть $y = \frac{x}{100}$. Тогда уравнение примет вид:
$1.1024 = (1 + y) \cdot (1 + y + 0.02)$

Раскроем скобки в правой части:
$1.1024 = 1 + y + 0.02 + y + y^2 + 0.02y$
$1.1024 = y^2 + 2.02y + 1.02$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 2.02y + 1.02 - 1.1024 = 0$
$y^2 + 2.02y - 0.0824 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2.02)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.0824) = 4.0804 + 0.3296 = 4.41$
$\sqrt{D} = \sqrt{4.41} = 2.1$

Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2.02 + 2.1}{2 \cdot 1} = \frac{0.08}{2} = 0.04$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2.02 - 2.1}{2 \cdot 1} = \frac{-4.12}{2} = -2.06$

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $y = \frac{x}{100}$, следовательно $x = 100 \cdot y$.
$x_1 = 100 \cdot 0.04 = 4$
$x_2 = 100 \cdot (-2.06) = -206$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, единственным подходящим решением является $x = 4$.

Таким образом, банковская ставка в первый год составляла 4 %.
Выполним проверку:
Сумма после первого года: $60\ 000 \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 60\ 000 \cdot 1.04 = 62\ 400$ р.
Ставка на второй год: $4\% + 2\% = 6\%$.
Сумма после второго года: $62\ 400 \cdot (1 + \frac{6}{100}) = 62\ 400 \cdot 1.06 = 66\ 144$ р.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 4 %.