Страница 28 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

146. Из двух городов, расстояние между которыми равно $300 \text{ км}$, выехали одновременно навстречу друг другу легковой и грузовой автомобили, которые встретились через $2 \text{ ч } 30 \text{ мин}$. Найдите скорость каждого автомобиля, если грузовик потратил на путь из одного города в другой на $3 \text{ ч } 45 \text{ мин}$ больше, чем легковой автомобиль.

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений.

Пусть $v_л$ — скорость легкового автомобиля в км/ч, а $v_г$ — скорость грузового автомобиля в км/ч.

Расстояние между городами $S = 300$ км.

Переведем временные интервалы в часы для удобства расчетов:

• Время до встречи: $t_{встречи} = 2$ ч $30$ мин $= 2 + \frac{30}{60}$ ч $= 2.5$ часа.
• Разница во времени на весь путь: $\Delta t = 3$ ч $45$ мин $= 3 + \frac{45}{60}$ ч $= 3 + \frac{3}{4}$ ч $= 3.75$ часа.

1. Составим первое уравнение, используя данные о встрече.

Автомобили движутся навстречу друг другу, поэтому их скорость сближения равна сумме их скоростей: $v_{сближения} = v_л + v_г$. За время $t_{встречи}$ они вместе преодолели все расстояние $S$.

Используем формулу пути: $S = v_{сближения} \cdot t_{встречи}$

$300 = (v_л + v_г) \cdot 2.5$

Отсюда найдем сумму скоростей:

$v_л + v_г = \frac{300}{2.5} = 120$

Это наше первое уравнение: $v_л + v_г = 120$.

2. Составим второе уравнение, используя данные о разнице во времени.

Время, которое легковой автомобиль тратит на весь путь $S = 300$ км, равно $t_л = \frac{S}{v_л} = \frac{300}{v_л}$.

Время, которое грузовой автомобиль тратит на весь путь $S = 300$ км, равно $t_г = \frac{S}{v_г} = \frac{300}{v_г}$.

По условию, грузовик был в пути дольше на $\Delta t = 3.75$ часа, значит: $t_г - t_л = 3.75$.

Подставим выражения для времени:

$\frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

3. Решим полученную систему уравнений.

Система выглядит так:

$\begin{cases} v_л + v_г = 120 \\ \frac{300}{v_г} - \frac{300}{v_л} = 3.75 \end{cases}$

Из первого уравнения выразим $v_г$: $v_г = 120 - v_л$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\frac{300}{120 - v_л} - \frac{300}{v_л} = 3.75$

Приведем левую часть к общему знаменателю:

$\frac{300v_л - 300(120 - v_л)}{v_л(120 - v_л)} = 3.75$

$\frac{300v_л - 36000 + 300v_л}{120v_л - v_л^2} = 3.75$

$\frac{600v_л - 36000}{120v_л - v_л^2} = 3.75$

Умножим обе части на знаменатель (при условии, что $v_л \neq 0$ и $v_л \neq 120$):

$600v_л - 36000 = 3.75(120v_л - v_л^2)$

$600v_л - 36000 = 450v_л - 3.75v_л^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3.75v_л^2 + 150v_л - 36000 = 0$

Для удобства умножим все уравнение на 4, чтобы избавиться от десятичной дроби $3.75 = \frac{15}{4}$:

$15v_л^2 + 600v_л - 144000 = 0$

Разделим все уравнение на 15:

$v_л^2 + 40v_л - 9600 = 0$

Решим это квадратное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 40^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9600) = 1600 + 38400 = 40000$

$\sqrt{D} = \sqrt{40000} = 200$

Найдем корни:

$v_{л1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 + 200}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_{л2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-40 - 200}{2} = \frac{-240}{2} = -120$

Так как скорость не может быть отрицательной, второй корень нам не подходит. Следовательно, скорость легкового автомобиля $v_л = 80$ км/ч.

4. Найдем скорость грузового автомобиля.

Используем первое уравнение $v_г = 120 - v_л$:

$v_г = 120 - 80 = 40$ км/ч.

Ответ: скорость легкового автомобиля — 80 км/ч, скорость грузового автомобиля — 40 км/ч.

147. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 9 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода. Один из них пришёл во второе село через 1 ч 21 мин после встречи, а другой в первое село — через 36 мин после встречи. Найдите, с какой скоростью двигался каждый пешеход и через какое время после начала движения состоялась их встреча.

Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешехода соответственно (в км/ч), а $t_{встр}$ — время от начала движения до их встречи (в часах). Общее расстояние между селами $S = 9$ км.

Время, которое первый пешеход шёл после встречи до второго села, равно $t_1 = 1 \text{ ч } 21 \text{ мин}$. Время, которое второй пешеход шёл после встречи до первого села, равно $t_2 = 36 \text{ мин}$.

Переведем время в часы для удобства расчетов:
$t_1 = 1 + \frac{21}{60} = 1 + \frac{7}{20} = \frac{27}{20} = 1.35$ часа.
$t_2 = \frac{36}{60} = \frac{3}{5} = 0.6$ часа.

Найдем, через какое время после начала движения состоялась их встреча

До встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t_{встр}$. Второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_{встр}$. Вместе они прошли все расстояние: $S_1 + S_2 = S$.

После встречи первому пешеходу осталось пройти расстояние $S_2$, и он прошел его за время $t_1$. Таким образом, $S_2 = v_1 \cdot t_1$.
Второму пешеходу после встречи осталось пройти расстояние $S_1$, и он прошел его за время $t_2$. Таким образом, $S_1 = v_2 \cdot t_2$.

Теперь у нас есть система уравнений:
$S_1 = v_1 \cdot t_{встр}$
$S_1 = v_2 \cdot t_2$
$S_2 = v_2 \cdot t_{встр}$
$S_2 = v_1 \cdot t_1$

Приравняем выражения для $S_1$ и $S_2$:
$v_1 \cdot t_{встр} = v_2 \cdot t_2 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_2}{t_{встр}}$
$v_2 \cdot t_{встр} = v_1 \cdot t_1 \implies \frac{v_1}{v_2} = \frac{t_{встр}}{t_1}$

Так как левые части уравнений равны, то равны и правые:
$\frac{t_2}{t_{встр}} = \frac{t_{встр}}{t_1}$
Отсюда $t_{встр}^2 = t_1 \cdot t_2$.

Подставим числовые значения:
$t_{встр}^2 = 1.35 \cdot 0.6 = \frac{27}{20} \cdot \frac{3}{5} = \frac{81}{100}$
$t_{встр} = \sqrt{\frac{81}{100}} = \frac{9}{10} = 0.9$ часа.

Переведем время встречи в минуты: $0.9 \cdot 60 = 54$ минуты.
Ответ: Встреча состоялась через 54 минуты после начала движения.

Найдем, с какой скоростью двигался каждый пешеход

Теперь, зная время до встречи, мы можем найти скорости пешеходов. Весь путь первого пешехода занял время $T_1 = t_{встр} + t_1 = 0.9 + 1.35 = 2.25$ часа. За это время он прошел расстояние $S=9$ км. Его скорость:
$v_1 = \frac{S}{T_1} = \frac{9}{2.25} = \frac{9}{9/4} = 9 \cdot \frac{4}{9} = 4$ км/ч.

Весь путь второго пешехода занял время $T_2 = t_{встр} + t_2 = 0.9 + 0.6 = 1.5$ часа. За это время он прошел расстояние $S=9$ км. Его скорость:
$v_2 = \frac{S}{T_2} = \frac{9}{1.5} = \frac{9}{3/2} = 9 \cdot \frac{2}{3} = 6$ км/ч.
Ответ: Скорость первого пешехода — 4 км/ч, скорость второго пешехода — 6 км/ч.

148. Из пунктов $A$ и $B$ одновременно навстречу друг другу выехали соответственно мотоциклист и велосипедист. Мотоциклист прибыл в $B$ через 36 мин после встречи, а велосипедист в $A$ — через 3 ч 45 мин после встречи. За какое время каждый из них проедет расстояние между $A$ и $B$?

Пусть $v_м$ — скорость мотоциклиста, а $v_в$ — скорость велосипедиста. Пусть $t$ — время в минутах, которое они двигались от начала пути до момента встречи.

Согласно условию, мотоциклист прибыл в пункт В через 36 минут после встречи. Обозначим это время как $t_м = 36$ мин.

Велосипедист прибыл в пункт А через 3 часа 45 минут после встречи. Переведем это время в минуты для удобства расчетов: $t_в = 3 \cdot 60 + 45 = 180 + 45 = 225$ мин.

До момента встречи мотоциклист проехал расстояние от А до места встречи. Обозначим его $S_1$. Это расстояние равно $S_1 = v_м \cdot t$. После встречи это же расстояние ($S_1$) проехал велосипедист за время $t_в$. Следовательно, $S_1 = v_в \cdot t_в = v_в \cdot 225$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение: $v_м \cdot t = v_в \cdot 225$.

Аналогично, до момента встречи велосипедист проехал расстояние от В до места встречи. Обозначим его $S_2$. Это расстояние равно $S_2 = v_в \cdot t$. После встречи это же расстояние ($S_2$) проехал мотоциклист за время $t_м$. Следовательно, $S_2 = v_м \cdot t_м = v_м \cdot 36$. Таким образом, мы можем составить второе уравнение: $v_в \cdot t = v_м \cdot 36$.

Из полученных уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_м}{v_в}$:

Из первого уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{225}{t}$

Из второго уравнения: $\frac{v_м}{v_в} = \frac{t}{36}$

Поскольку левые части этих выражений равны, мы можем приравнять их правые части:

$\frac{225}{t} = \frac{t}{36}$

Теперь решим это уравнение относительно $t$, чтобы найти время до встречи:

$t^2 = 225 \cdot 36$

$t = \sqrt{225 \cdot 36} = \sqrt{225} \cdot \sqrt{36} = 15 \cdot 6 = 90$ минут.

Итак, время от начала движения до встречи составило 90 минут.

Теперь найдем общее время, которое каждый из них затратил на весь путь от А до В.

Общее время мотоциклиста $T_м$ складывается из времени движения до встречи ($t$) и времени движения после встречи ($t_м$):

$T_м = t + t_м = 90 + 36 = 126$ минут.

Переведем это время в часы и минуты: $126$ мин = $2$ ч $6$ мин.

Общее время велосипедиста $T_в$ складывается из времени движения до встречи ($t$) и времени движения после встречи ($t_в$):

$T_в = t + t_в = 90 + 225 = 315$ минут.

Переведем это время в часы и минуты: $315$ мин = $5$ ч $15$ мин.

Ответ: мотоциклист проедет расстояние между А и В за 2 часа 6 минут, а велосипедист — за 5 часов 15 минут.

149. Цена некоторого товара сначала снизилась на 10 %, а потом повысилась на 10 %. На сколько процентов изменилась первоначальная цена?

Для решения этой задачи введем переменную для первоначальной цены товара. Пусть первоначальная цена товара равна $x$.

Шаг 1: Снижение цены на 10%

Сначала цена снизилась на 10%. Чтобы найти новую цену, нужно вычесть 10% от первоначальной цены. 10% от $x$ – это $0.1x$.

Новая цена после снижения: $x_1 = x - 0.1x = x(1 - 0.1) = 0.9x$.

Таким образом, после первого изменения цена составила 90% от первоначальной.

Шаг 2: Повышение цены на 10%

Затем новая цена $x_1$ повысилась на 10%. Важно учесть, что 10% теперь вычисляются от текущей, уже сниженной цены ($0.9x$), а не от первоначальной ($x$).

Сумма повышения составляет 10% от $x_1$: $0.1x_1 = 0.1 \times (0.9x) = 0.09x$.

Итоговая цена после повышения: $x_2 = x_1 + 0.1x_1 = 1.1x_1$.

Теперь подставим значение $x_1$ в эту формулу:

$x_2 = 1.1 \times (0.9x) = 0.99x$.

Шаг 3: Определение общего изменения цены

Итоговая цена составила $0.99x$, что равно 99% от первоначальной цены $x$.

Чтобы найти, на сколько процентов изменилась первоначальная цена, вычтем из 100% полученный процент:

$100\% - 99\% = 1\%$.

Поскольку итоговая цена ($0.99x$) меньше первоначальной ($x$), это означает, что цена снизилась.

Ответ: Первоначальная цена снизилась на 1%.

150. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 8 % годовых.

Сколько денег будет на его счёте через 2 года?

Для решения этой задачи необходимо рассчитать сумму на счете через 2 года с учетом ежегодной капитализации процентов (сложные проценты). Это означает, что проценты за каждый следующий год начисляются не только на первоначальную сумму вклада, но и на уже начисленные ранее проценты.

Рассмотрим решение по шагам.

1. Расчет суммы через 1 год

Сначала вычислим, сколько процентов будет начислено за первый год. Для этого найдем 8% от 40 000 рублей:
$40\ 000 \times \frac{8}{100} = 40\ 000 \times 0.08 = 3\ 200$ р.

Теперь добавим начисленные проценты к первоначальному вкладу, чтобы узнать сумму на счете через год:
$40\ 000 + 3\ 200 = 43\ 200$ р.

2. Расчет суммы через 2 года

На второй год проценты будут начисляться уже на новую сумму, то есть на 43 200 рублей. Вычислим 8% от этой суммы:
$43\ 200 \times \frac{8}{100} = 43\ 200 \times 0.08 = 3\ 456$ р.

Теперь добавим проценты за второй год к сумме, которая была на счете после первого года, чтобы найти итоговую сумму:
$43\ 200 + 3\ 456 = 46\ 656$ р.

Также эту задачу можно решить с помощью формулы сложных процентов:
$S_n = S_0 \cdot (1 + \frac{P}{100})^n$
где $S_0$ — первоначальная сумма (40 000 р.), $P$ — процентная ставка (8%), $n$ — срок в годах (2).

$S_2 = 40\ 000 \cdot (1 + \frac{8}{100})^2 = 40\ 000 \cdot (1.08)^2 = 40\ 000 \cdot 1.1664 = 46\ 656$ р.

Ответ: 46 656 р.

151. Предприниматель взял в банке кредит в размере 300 000 р. под некоторый процент годовых. Через 2 года он вернул в банк 432 000 р. Какова процентная ставка кредита в этом банке?

Для решения этой задачи используется формула сложных процентов, которая показывает, как увеличивается сумма долга, если проценты начисляются на первоначальную сумму и на все ранее начисленные проценты.

Формула имеет вид:
$S_n = S \cdot (1 + \frac{r}{100})^n$
где:
$S$ — первоначальная сумма кредита (в данном случае 300 000 р.),
$S_n$ — итоговая сумма к возврату через $n$ лет (432 000 р.),
$n$ — срок кредита в годах (2 года),
$r$ — годовая процентная ставка в процентах, которую нам нужно найти.

Подставим известные значения в формулу:

$432000 = 300000 \cdot (1 + \frac{r}{100})^2$

Чтобы найти $r$, решим это уравнение. Сначала выразим скобку в квадрате, разделив обе части уравнения на 300 000:

$(1 + \frac{r}{100})^2 = \frac{432000}{300000}$

Упростим полученную дробь:

$\frac{432000}{300000} = \frac{432}{300} = \frac{144}{100} = 1.44$

Теперь уравнение выглядит так:

$(1 + \frac{r}{100})^2 = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Поскольку процентная ставка не может быть отрицательной, рассматриваем только положительное значение корня:

$1 + \frac{r}{100} = \sqrt{1.44}$

$1 + \frac{r}{100} = 1.2$

Теперь найдем значение дроби $\frac{r}{100}$, вычтя 1 из обеих частей:

$\frac{r}{100} = 1.2 - 1$

$\frac{r}{100} = 0.2$

Наконец, вычислим $r$, умножив обе части на 100:

$r = 0.2 \cdot 100 = 20$

Следовательно, годовая процентная ставка кредита составляет 20%.

Ответ: 20%.

152. Смешали 50-процентный и 20-процентный растворы кислоты и получили 600 г 30-процентного раствора. Сколько граммов каждого раствора взяли для этого?

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $x$ — масса 50-процентного раствора в граммах, а $y$ — масса 20-процентного раствора в граммах.

Суммарная масса двух растворов равна массе полученного раствора, то есть 600 г. Это дает нам первое уравнение:

$x + y = 600$

Теперь рассмотрим массу чистой кислоты. В первом растворе (50%) масса кислоты составляет $0.5x$ г. Во втором растворе (20%) масса кислоты составляет $0.2y$ г. В полученном 600-граммовом растворе с концентрацией 30% масса кислоты составляет $0.3 \cdot 600 = 180$ г.

Сумма массы кислоты в исходных растворах равна массе кислоты в конечном растворе. Это дает нам второе уравнение:

$0.5x + 0.2y = 180$

Получаем систему из двух линейных уравнений:

$\begin{cases} x + y = 600 \\ 0.5x + 0.2y = 180 \end{cases}$

Выразим $y$ из первого уравнения: $y = 600 - x$.

Подставим это выражение во второе уравнение, чтобы найти $x$:

$0.5x + 0.2(600 - x) = 180$

Раскроем скобки:

$0.5x + 120 - 0.2x = 180$

Приведем подобные слагаемые:

$0.3x = 180 - 120$

$0.3x = 60$

$x = \frac{60}{0.3}$

$x = 200$

Итак, масса 50-процентного раствора составляет 200 г.

Теперь найдем массу 20-процентного раствора:

$y = 600 - x = 600 - 200 = 400$

Масса 20-процентного раствора составляет 400 г.

Ответ: для смеси взяли 200 г 50-процентного раствора и 400 г 20-процентного раствора.

153. Вкладчик положил в банк 60 000 р. За первый год ему начислили деньги по установленной процентной ставке, а в следующем году банковский процент был увеличен на 2 %. В конце второго года на счёте оказалось 66 144 р. Сколько процентов составляла банковская ставка в первый год?

Для решения этой задачи составим уравнение, описывающее изменение суммы вклада в течение двух лет.

Пусть $S_0$ — первоначальная сумма вклада, $S_2$ — сумма вклада через два года, а $x$ — процентная ставка в первый год (в процентах).

По условию задачи:
$S_0 = 60\ 000$ р.
$S_2 = 66\ 144$ р.

Сумма вклада после первого года ($S_1$) вычисляется по формуле сложных процентов:
$S_1 = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100})$

На второй год процентная ставка была увеличена на 2 %, то есть она стала равна $(x + 2) \%$.
Сумма вклада через два года ($S_2$) вычисляется на основе суммы $S_1$, которая стала новой базой для начисления процентов:
$S_2 = S_1 \cdot (1 + \frac{x+2}{100}) = S_0 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$

Подставим известные значения в формулу, чтобы составить уравнение:
$66\ 144 = 60\ 000 \cdot (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$

Разделим обе части уравнения на 60 000:
$\frac{66\ 144}{60\ 000} = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x+2}{100})$
$1.1024 = (1 + \frac{x}{100}) \cdot (1 + \frac{x}{100} + \frac{2}{100})$

Для удобства введем замену: пусть $y = \frac{x}{100}$. Тогда уравнение примет вид:
$1.1024 = (1 + y) \cdot (1 + y + 0.02)$

Раскроем скобки в правой части:
$1.1024 = 1 + y + 0.02 + y + y^2 + 0.02y$
$1.1024 = y^2 + 2.02y + 1.02$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$y^2 + 2.02y + 1.02 - 1.1024 = 0$
$y^2 + 2.02y - 0.0824 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (2.02)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-0.0824) = 4.0804 + 0.3296 = 4.41$
$\sqrt{D} = \sqrt{4.41} = 2.1$

Найдем корни уравнения:
$y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2.02 + 2.1}{2 \cdot 1} = \frac{0.08}{2} = 0.04$
$y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2.02 - 2.1}{2 \cdot 1} = \frac{-4.12}{2} = -2.06$

Теперь вернемся к переменной $x$, зная что $y = \frac{x}{100}$, следовательно $x = 100 \cdot y$.
$x_1 = 100 \cdot 0.04 = 4$
$x_2 = 100 \cdot (-2.06) = -206$

Так как процентная ставка по вкладу не может быть отрицательной величиной, единственным подходящим решением является $x = 4$.

Таким образом, банковская ставка в первый год составляла 4 %.
Выполним проверку:
Сумма после первого года: $60\ 000 \cdot (1 + \frac{4}{100}) = 60\ 000 \cdot 1.04 = 62\ 400$ р.
Ставка на второй год: $4\% + 2\% = 6\%$.
Сумма после второго года: $62\ 400 \cdot (1 + \frac{6}{100}) = 62\ 400 \cdot 1.06 = 66\ 144$ р.
Результат совпадает с условием задачи.

Ответ: 4 %.