Страница 32 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

178. Найдите четыре первых члена последовательности $(a_n)$, заданной формулой n-го члена:

1) $a_n = n + 2;$

2) $a_n = 3n - 4;$

3) $a_n = \frac{n^2}{n+1};$

4) $a_n = \frac{2^n}{n^2}.$

Чтобы найти первые четыре члена последовательности $(a_n)$, необходимо последовательно подставить значения $n=1, 2, 3, 4$ в формулу n-го члена.

1) $a_n = n + 2$

Первый член ($n=1$): $a_1 = 1 + 2 = 3$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 2 + 2 = 4$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 3 + 2 = 5$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 4 + 2 = 6$

Ответ: 3, 4, 5, 6.

2) $a_n = 3n - 4$

Первый член ($n=1$): $a_1 = 3 \cdot 1 - 4 = 3 - 4 = -1$
Второй член ($n=2$): $a_2 = 3 \cdot 2 - 4 = 6 - 4 = 2$
Третий член ($n=3$): $a_3 = 3 \cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = 3 \cdot 4 - 4 = 12 - 4 = 8$

Ответ: -1, 2, 5, 8.

3) $a_n = \frac{n^2}{n+1}$

Первый член ($n=1$): $a_1 = \frac{1^2}{1+1} = \frac{1}{2}$
Второй член ($n=2$): $a_2 = \frac{2^2}{2+1} = \frac{4}{3}$
Третий член ($n=3$): $a_3 = \frac{3^2}{3+1} = \frac{9}{4}$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = \frac{4^2}{4+1} = \frac{16}{5}$

Ответ: $\frac{1}{2}$, $\frac{4}{3}$, $\frac{9}{4}$, $\frac{16}{5}$.

4) $a_n = \frac{2^n}{n^2}$

Первый член ($n=1$): $a_1 = \frac{2^1}{1^2} = \frac{2}{1} = 2$
Второй член ($n=2$): $a_2 = \frac{2^2}{2^2} = \frac{4}{4} = 1$
Третий член ($n=3$): $a_3 = \frac{2^3}{3^2} = \frac{8}{9}$
Четвертый член ($n=4$): $a_4 = \frac{2^4}{4^2} = \frac{16}{16} = 1$

Ответ: 2, 1, $\frac{8}{9}$, 1.

179. Найдите второй, шестой и сотый члены последовательности ($b_n$), заданной формулой $n$-го члена:

1) $b_n = \frac{5}{n}$;

2) $b_n = 7 - 3n$;

3) $b_n = n^2 - 10n$;

4) $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+1}$.

1) Для последовательности, заданной формулой $b_n = \frac{5}{n}$, чтобы найти второй, шестой и сотый члены, необходимо подставить в формулу значения $n=2$, $n=6$ и $n=100$ соответственно.

При $n=2$:

$b_2 = \frac{5}{2} = 2,5$

При $n=6$:

$b_6 = \frac{5}{6}$

При $n=100$:

$b_{100} = \frac{5}{100} = \frac{1}{20} = 0,05$

Ответ: $b_2 = 2,5$; $b_6 = \frac{5}{6}$; $b_{100} = 0,05$.

2) Для последовательности, заданной формулой $b_n = 7 - 3n$, найдем второй, шестой и сотый члены, подставив соответствующие значения $n$.

При $n=2$:

$b_2 = 7 - 3 \cdot 2 = 7 - 6 = 1$

При $n=6$:

$b_6 = 7 - 3 \cdot 6 = 7 - 18 = -11$

При $n=100$:

$b_{100} = 7 - 3 \cdot 100 = 7 - 300 = -293$

Ответ: $b_2 = 1$; $b_6 = -11$; $b_{100} = -293$.

3) Для последовательности, заданной формулой $b_n = n^2 - 10n$, найдем второй, шестой и сотый члены, подставив соответствующие значения $n$.

При $n=2$:

$b_2 = 2^2 - 10 \cdot 2 = 4 - 20 = -16$

При $n=6$:

$b_6 = 6^2 - 10 \cdot 6 = 36 - 60 = -24$

При $n=100$:

$b_{100} = 100^2 - 10 \cdot 100 = 10000 - 1000 = 9000$

Ответ: $b_2 = -16$; $b_6 = -24$; $b_{100} = 9000$.

4) Для последовательности, заданной формулой $b_n = (-1)^n + (-1)^{n+1} + 1$, найдем второй, шестой и сотый члены.

Можно упростить формулу, вынеся за скобки $(-1)^n$:

$b_n = (-1)^n + (-1)^n \cdot (-1)^1 + 1 = (-1)^n - (-1)^n + 1 = 0 + 1 = 1$

Таким образом, любой член данной последовательности равен 1. Проверим это для заданных значений $n$.

При $n=2$:

$b_2 = (-1)^2 + (-1)^{2+1} + 1 = 1 + (-1)^3 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

При $n=6$:

$b_6 = (-1)^6 + (-1)^{6+1} + 1 = 1 + (-1)^7 + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

При $n=100$:

$b_{100} = (-1)^{100} + (-1)^{100+1} + 1 = 1 + (-1)^{101} + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$

Ответ: $b_2 = 1$; $b_6 = 1$; $b_{100} = 1$.

180. Последовательность ($c_n$) задана формулой $n$-го члена

$c_n = 2n + 3$. Найдите:

1) $c_1$;

2) $c_5$;

3) $c_{200}$;

4) $c_{k+2}$.

Для нахождения указанных членов последовательности $(c_n)$, заданной формулой $c_n = 2n + 3$, необходимо подставить соответствующий номер $n$ в эту формулу.

1) $c_1$;
Для нахождения первого члена последовательности $c_1$ подставим $n=1$ в формулу:
$c_1 = 2 \cdot 1 + 3 = 2 + 3 = 5$.
Ответ: 5.

2) $c_5$;
Для нахождения пятого члена последовательности $c_5$ подставим $n=5$ в формулу:
$c_5 = 2 \cdot 5 + 3 = 10 + 3 = 13$.
Ответ: 13.

3) $c_{200}$;
Для нахождения двухсотого члена последовательности $c_{200}$ подставим $n=200$ в формулу:
$c_{200} = 2 \cdot 200 + 3 = 400 + 3 = 403$.
Ответ: 403.

4) $c_{k+2}$.
Для нахождения члена последовательности с номером $k+2$ подставим $n = k+2$ в формулу и упростим полученное выражение:
$c_{k+2} = 2(k+2) + 3 = 2k + 4 + 3 = 2k + 7$.
Ответ: $2k+7$.

181. Последовательность ( $x_n$ ) задана формулой $n$-го члена

$x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2$. Найдите:

1) $x_1$;

2) $x_6$;

3) $x_{2k}$;

4) $x_{2k+1}$.

1) $x_1$; Чтобы найти первый член последовательности $x_1$, необходимо подставить значение $n=1$ в формулу $n$-го члена $x_n = (-1)^{n+1} \cdot 2$.
$x_1 = (-1)^{1+1} \cdot 2 = (-1)^2 \cdot 2$.
Поскольку любое число в четной степени положительно, $(-1)^2 = 1$.
$x_1 = 1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2

2) $x_6$; Чтобы найти шестой член последовательности $x_6$, подставим $n=6$ в формулу.
$x_6 = (-1)^{6+1} \cdot 2 = (-1)^7 \cdot 2$.
Поскольку -1 в нечетной степени равно -1, то $(-1)^7 = -1$.
$x_6 = -1 \cdot 2 = -2$.
Ответ: -2

3) $x_{2k}$; Чтобы найти член последовательности с четным номером $2k$ (где $k$ - натуральное число), подставим $n=2k$ в формулу.
$x_{2k} = (-1)^{2k+1} \cdot 2$.
Выражение $2k$ всегда является четным числом. Следовательно, показатель степени $2k+1$ всегда является нечетным числом.
Так как -1 в любой нечетной степени равно -1, то $x_{2k} = -1 \cdot 2 = -2$.
Ответ: -2

4) $x_{2k+1}$; Чтобы найти член последовательности с нечетным номером $2k+1$ (где $k$ - натуральное число), подставим $n=2k+1$ в формулу.
$x_{2k+1} = (-1)^{(2k+1)+1} \cdot 2 = (-1)^{2k+2} \cdot 2$.
Выражение $2k+1$ всегда является нечетным числом. Следовательно, показатель степени $2k+2 = 2(k+1)$ всегда является четным числом.
Так как -1 в любой четной степени равно 1, то $x_{2k+1} = 1 \cdot 2 = 2$.
Ответ: 2

182. Найдите четыре первых члена последовательности ($a_n$), если:

1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} = a_n + 2$;

2) $a_1 = 16$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$;

3) $a_1 = -4$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1}$;

4) $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} = a_n^2 - a_{n+1}$.

1) По условию дан первый член последовательности $a_1 = -3$ и рекуррентная формула для нахождения последующих членов $a_{n+1} = a_n + 2$.

Первый член нам уже известен: $a_1 = -3$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = a_1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=2$ в формулу:

$a_3 = a_2 + 2 = -1 + 2 = 1$.

Чтобы найти четвёртый член, подставим $n=3$ в формулу:

$a_4 = a_3 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Первые четыре члена последовательности: -3, -1, 1, 3.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

2) По условию дан первый член последовательности $a_1 = 16$ и рекуррентная формула $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$.

Первый член известен: $a_1 = 16$.

Найдём второй член при $n=1$:

$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Найдём третий член при $n=2$:

$a_3 = \frac{a_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Найдём четвёртый член при $n=3$:

$a_4 = \frac{a_3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Первые четыре члена последовательности: 16, 8, 4, 2.

Ответ: 16, 8, 4, 2.

3) По условию даны первые два члена последовательности $a_1 = -4$, $a_2 = 3$ и рекуррентная формула $a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1}$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = -4$ и $a_2 = 3$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_1 + 2a_2 = -4 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2$.

Чтобы найти четвёртый член, подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_2 + 2a_3 = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$.

Первые четыре члена последовательности: -4, 3, 2, 7.

Ответ: -4, 3, 2, 7.

4) По условию даны первые два члена последовательности $a_1 = 1$, $a_2 = 4$ и рекуррентная формула $a_{n+2} = a_n^2 - a_{n+1}$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Найдём третий член, подставив $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_1^2 - a_2 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Найдём четвёртый член, подставив $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_2^2 - a_3 = 4^2 - (-3) = 16 + 3 = 19$.

Первые четыре члена последовательности: 1, 4, -3, 19.

Ответ: 1, 4, -3, 19.

183. Последовательность $(y_n)$ задана формулой $n$-го члена $y_n = 6n - 1$. Является ли членом этой последовательности число:

1) 17;

2) 36?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Чтобы определить, является ли число членом последовательности, заданной формулой $y_n = 6n - 1$, нужно подставить это число вместо $y_n$ и найти $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (т.е. целым и положительным), то данное число является членом последовательности, а $n$ — его порядковый номер.

1) 17

Приравняем $y_n$ к 17 и решим уравнение относительно $n$:

$17 = 6n - 1$

$6n = 17 + 1$

$6n = 18$

$n = 18 / 6$

$n = 3$

Поскольку $n=3$ — это натуральное число, число 17 является членом данной последовательности.

Ответ: Да, является. Номер этого члена — 3.

2) 36

Приравняем $y_n$ к 36 и решим уравнение относительно $n$:

$36 = 6n - 1$

$6n = 36 + 1$

$6n = 37$

$n = 37 / 6$

$n = 6\frac{1}{6}$

Поскольку $n = 6\frac{1}{6}$ не является натуральным числом, число 36 не является членом данной последовательности.

Ответ: Нет, не является.

184. Найдите количество положительных членов последовательности ($\$z_n\$$), заданной формулой $\$n\$-го члена $\$z_n = 22 - 4n\$.

Чтобы найти количество положительных членов последовательности $(z_n)$, необходимо решить неравенство $z_n > 0$ относительно $n$. По определению последовательности, $n$ является натуральным числом, то есть $n \in \mathbb{N}$.

Дана формула n-го члена последовательности: $z_n = 22 - 4n$.

Составим и решим неравенство:

$22 - 4n > 0$

Перенесем $4n$ в правую часть неравенства:

$22 > 4n$

Разделим обе части неравенства на 4:

$\frac{22}{4} > n$

$5.5 > n$

Таким образом, мы ищем все натуральные числа $n$, которые меньше $5.5$. Такими числами являются $1, 2, 3, 4, 5$.

Всего таких чисел 5. Следовательно, последовательность $(z_n)$ имеет 5 положительных членов.

Проверим:

$z_1 = 22 - 4 \cdot 1 = 18$

$z_2 = 22 - 4 \cdot 2 = 14$

$z_3 = 22 - 4 \cdot 3 = 10$

$z_4 = 22 - 4 \cdot 4 = 6$

$z_5 = 22 - 4 \cdot 5 = 2$

$z_6 = 22 - 4 \cdot 6 = -2$ (уже отрицательный)

Ответ: 5