Номер 182, страница 32 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

182. Найдите четыре первых члена последовательности ($a_n$), если:

1) $a_1 = -3$, $a_{n+1} = a_n + 2$;

2) $a_1 = 16$, $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$;

3) $a_1 = -4$, $a_2 = 3$, $a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1}$;

4) $a_1 = 1$, $a_2 = 4$, $a_{n+2} = a_n^2 - a_{n+1}$.

1) По условию дан первый член последовательности $a_1 = -3$ и рекуррентная формула для нахождения последующих членов $a_{n+1} = a_n + 2$.

Первый член нам уже известен: $a_1 = -3$.

Чтобы найти второй член, подставим $n=1$ в формулу:

$a_2 = a_1 + 2 = -3 + 2 = -1$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=2$ в формулу:

$a_3 = a_2 + 2 = -1 + 2 = 1$.

Чтобы найти четвёртый член, подставим $n=3$ в формулу:

$a_4 = a_3 + 2 = 1 + 2 = 3$.

Первые четыре члена последовательности: -3, -1, 1, 3.

Ответ: -3, -1, 1, 3.

2) По условию дан первый член последовательности $a_1 = 16$ и рекуррентная формула $a_{n+1} = \frac{a_n}{2}$.

Первый член известен: $a_1 = 16$.

Найдём второй член при $n=1$:

$a_2 = \frac{a_1}{2} = \frac{16}{2} = 8$.

Найдём третий член при $n=2$:

$a_3 = \frac{a_2}{2} = \frac{8}{2} = 4$.

Найдём четвёртый член при $n=3$:

$a_4 = \frac{a_3}{2} = \frac{4}{2} = 2$.

Первые четыре члена последовательности: 16, 8, 4, 2.

Ответ: 16, 8, 4, 2.

3) По условию даны первые два члена последовательности $a_1 = -4$, $a_2 = 3$ и рекуррентная формула $a_{n+2} = a_n + 2a_{n+1}$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = -4$ и $a_2 = 3$.

Чтобы найти третий член, подставим $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_1 + 2a_2 = -4 + 2 \cdot 3 = -4 + 6 = 2$.

Чтобы найти четвёртый член, подставим $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_2 + 2a_3 = 3 + 2 \cdot 2 = 3 + 4 = 7$.

Первые четыре члена последовательности: -4, 3, 2, 7.

Ответ: -4, 3, 2, 7.

4) По условию даны первые два члена последовательности $a_1 = 1$, $a_2 = 4$ и рекуррентная формула $a_{n+2} = a_n^2 - a_{n+1}$.

Первый и второй члены известны: $a_1 = 1$ и $a_2 = 4$.

Найдём третий член, подставив $n=1$ в формулу:

$a_3 = a_1^2 - a_2 = 1^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.

Найдём четвёртый член, подставив $n=2$ в формулу:

$a_4 = a_2^2 - a_3 = 4^2 - (-3) = 16 + 3 = 19$.

Первые четыре члена последовательности: 1, 4, -3, 19.

Ответ: 1, 4, -3, 19.