Номер 185, страница 33 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 4, 9, 16, 25, 36, ... ;

2) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{6}$, ...;

3) 1, -1, 1, -1, 1, ... ;

4) 2, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{2}{5}$, 0, $\frac{2}{7}$, ...$.

1) Рассматриваем последовательность 4, 9, 16, 25, 36, ... .

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Представим каждый член последовательности в виде квадрата целого числа:

$a_1 = 4 = 2^2$

$a_2 = 9 = 3^2$

$a_3 = 16 = 4^2$

$a_4 = 25 = 5^2$

$a_5 = 36 = 6^2$

Можно заметить, что основание степени для каждого $n$-го члена равно $n+1$. Следовательно, одна из возможных формул для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = (n+1)^2$

Ответ: $a_n = (n+1)^2$

2) Рассматриваем последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, ...$ .

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$.

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{2}{3}$

$a_3 = \frac{3}{4}$

$a_4 = \frac{4}{5}$

Видно, что числитель каждого члена совпадает с его номером $n$, а знаменатель на единицу больше числителя, то есть равен $n+1$. Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = \frac{n}{n+1}$

Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$

3) Рассматриваем последовательность 1, –1, 1, –1, 1, ... .

Эта последовательность является знакочередующейся. Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, ...$) равны 1, а с четными номерами ($a_2, a_4, ...$) равны –1. Такую закономерность можно описать с помощью степени числа –1. Нам нужна формула, которая дает 1 для нечетных $n$ и –1 для четных $n$.

Рассмотрим выражение $(-1)^{n+1}$:

При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$.

При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$.

При $n=3$: $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$.

Это соответствует нашей последовательности. Другой возможной формулой является $(-1)^{n-1}$.

Ответ: $a_n = (-1)^{n+1}$

4) Рассматриваем последовательность 2, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{2}{5}$, 0, $\frac{2}{7}$, ... .

Заметим, что все члены с четными номерами ($n=2, 4, 6, ...$) равны нулю. Рассмотрим члены с нечетными номерами:

$a_1 = 2 = \frac{2}{1}$

$a_3 = \frac{2}{3}$

$a_5 = \frac{2}{5}$

$a_7 = \frac{2}{7}$

Для нечетных $n$, числитель всегда равен 2, а знаменатель равен номеру члена $n$. Таким образом, для нечетных $n$ формула имеет вид $a_n = \frac{2}{n}$.

Чтобы объединить эти два случая в одну формулу, можно использовать множитель, который равен 1 для нечетных $n$ и 0 для четных $n$. Таким множителем является выражение $\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}$.

Тогда общая формула будет: $a_n = \frac{2}{n} \cdot \frac{1+(-1)^{n+1}}{2} = \frac{1+(-1)^{n+1}}{n}$.

Проверим формулу:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1+(-1)^{1+1}}{1} = \frac{1+1}{1} = 2$.

При $n=2$: $a_2 = \frac{1+(-1)^{2+1}}{2} = \frac{1-1}{2} = 0$.

При $n=3$: $a_3 = \frac{1+(-1)^{3+1}}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$.

Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{1+(-1)^{n+1}}{n}$