Страница 33 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

185. Подберите одну из возможных формул $n$-го члена последовательности, первыми членами которой являются числа:

1) 4, 9, 16, 25, 36, ... ;

2) $\frac{1}{2}$, $\frac{2}{3}$, $\frac{3}{4}$, $\frac{4}{5}$, $\frac{5}{6}$, ...;

3) 1, -1, 1, -1, 1, ... ;

4) 2, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{2}{5}$, 0, $\frac{2}{7}$, ...$.

1) Рассматриваем последовательность 4, 9, 16, 25, 36, ... .

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$. Представим каждый член последовательности в виде квадрата целого числа:

$a_1 = 4 = 2^2$

$a_2 = 9 = 3^2$

$a_3 = 16 = 4^2$

$a_4 = 25 = 5^2$

$a_5 = 36 = 6^2$

Можно заметить, что основание степени для каждого $n$-го члена равно $n+1$. Следовательно, одна из возможных формул для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = (n+1)^2$

Ответ: $a_n = (n+1)^2$

2) Рассматриваем последовательность $\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, \frac{5}{6}, ...$ .

Обозначим $n$-й член последовательности как $a_n$.

$a_1 = \frac{1}{2}$

$a_2 = \frac{2}{3}$

$a_3 = \frac{3}{4}$

$a_4 = \frac{4}{5}$

Видно, что числитель каждого члена совпадает с его номером $n$, а знаменатель на единицу больше числителя, то есть равен $n+1$. Таким образом, формула для $n$-го члена последовательности имеет вид:

$a_n = \frac{n}{n+1}$

Ответ: $a_n = \frac{n}{n+1}$

3) Рассматриваем последовательность 1, –1, 1, –1, 1, ... .

Эта последовательность является знакочередующейся. Члены с нечетными номерами ($a_1, a_3, ...$) равны 1, а с четными номерами ($a_2, a_4, ...$) равны –1. Такую закономерность можно описать с помощью степени числа –1. Нам нужна формула, которая дает 1 для нечетных $n$ и –1 для четных $n$.

Рассмотрим выражение $(-1)^{n+1}$:

При $n=1$: $(-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1$.

При $n=2$: $(-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1$.

При $n=3$: $(-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1$.

Это соответствует нашей последовательности. Другой возможной формулой является $(-1)^{n-1}$.

Ответ: $a_n = (-1)^{n+1}$

4) Рассматриваем последовательность 2, 0, $\frac{2}{3}$, 0, $\frac{2}{5}$, 0, $\frac{2}{7}$, ... .

Заметим, что все члены с четными номерами ($n=2, 4, 6, ...$) равны нулю. Рассмотрим члены с нечетными номерами:

$a_1 = 2 = \frac{2}{1}$

$a_3 = \frac{2}{3}$

$a_5 = \frac{2}{5}$

$a_7 = \frac{2}{7}$

Для нечетных $n$, числитель всегда равен 2, а знаменатель равен номеру члена $n$. Таким образом, для нечетных $n$ формула имеет вид $a_n = \frac{2}{n}$.

Чтобы объединить эти два случая в одну формулу, можно использовать множитель, который равен 1 для нечетных $n$ и 0 для четных $n$. Таким множителем является выражение $\frac{1+(-1)^{n+1}}{2}$.

Тогда общая формула будет: $a_n = \frac{2}{n} \cdot \frac{1+(-1)^{n+1}}{2} = \frac{1+(-1)^{n+1}}{n}$.

Проверим формулу:

При $n=1$: $a_1 = \frac{1+(-1)^{1+1}}{1} = \frac{1+1}{1} = 2$.

При $n=2$: $a_2 = \frac{1+(-1)^{2+1}}{2} = \frac{1-1}{2} = 0$.

При $n=3$: $a_3 = \frac{1+(-1)^{3+1}}{3} = \frac{1+1}{3} = \frac{2}{3}$.

Формула верна.

Ответ: $a_n = \frac{1+(-1)^{n+1}}{n}$

186. Найдите четыре первых члена арифметической прогрессии $(a_n)$, первый член которой $a_1 = 1,5$, а разность $d = -0,4$.

По определению арифметической прогрессии, каждый следующий член получается из предыдущего прибавлением разности прогрессии $d$. Формула для нахождения n-го члена: $a_{n+1} = a_n + d$.

Нам даны первый член $a_1 = 1,5$ и разность $d = -0,4$.

Найдем второй член прогрессии ($a_2$):

$a_2 = a_1 + d = 1,5 + (-0,4) = 1,5 - 0,4 = 1,1$

Найдем третий член прогрессии ($a_3$):

$a_3 = a_2 + d = 1,1 + (-0,4) = 1,1 - 0,4 = 0,7$

Найдем четвертый член прогрессии ($a_4$):

$a_4 = a_3 + d = 0,7 + (-0,4) = 0,7 - 0,4 = 0,3$

Таким образом, первые четыре члена арифметической прогрессии равны 1,5; 1,1; 0,7; 0,3.

Ответ: 1,5; 1,1; 0,7; 0,3.

187. Первый член арифметической прогрессии $a_1 = 5$, а разность $d = 0,6$. Найдите:

1) $a_5$;

2) $a_{26}$;

3) $a_{32}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — её разность, а $n$ — номер искомого члена.

По условию, $a_1 = 5$ и $d = 0,6$.

Подставим известные значения в формулу для $n=5$:

$a_5 = a_1 + (5-1)d = 5 + 4 \cdot 0,6 = 5 + 2,4 = 7,4$

Ответ: 7,4

Подставим известные значения в формулу для $n=26$:

$a_{26} = a_1 + (26-1)d = 5 + 25 \cdot 0,6 = 5 + 15 = 20$

Ответ: 20

Подставим известные значения в формулу для $n=32$:

$a_{32} = a_1 + (32-1)d = 5 + 31 \cdot 0,6 = 5 + 18,6 = 23,6$

Ответ: 23,6

188. Найдите разность и сто пятьдесят первый член арифметической прогрессии $1,8; 2,2; 2,6; \dots$.

Разность

Дана арифметическая прогрессия: $1,8; 2,2; 2,6; ...$ .
Первый член прогрессии $a_1 = 1,8$.
Второй член прогрессии $a_2 = 2,2$.
Третий член прогрессии $a_3 = 2,6$.
Разность арифметической прогрессии ($d$) — это постоянная величина, равная разности между любым членом прогрессии, начиная со второго, и предыдущим членом.

Вычислим разность, используя второй и первый члены:
$d = a_2 - a_1 = 2,2 - 1,8 = 0,4$.
Для проверки можно использовать третий и второй члены:
$d = a_3 - a_2 = 2,6 - 2,2 = 0,4$.
Разность постоянна.

Ответ: разность арифметической прогрессии равна 0,4.

Сто пятьдесят первый член

Для нахождения n-го члена арифметической прогрессии используется формула:
$a_n = a_1 + (n-1)d$,
где $a_1$ — первый член прогрессии, $n$ — номер искомого члена, $d$ — разность прогрессии.

В нашем случае известны следующие значения:
$a_1 = 1,8$
$d = 0,4$
$n = 151$
Подставим эти значения в формулу для нахождения $a_{151}$:

$a_{151} = 1,8 + (151 - 1) \cdot 0,4$
$a_{151} = 1,8 + 150 \cdot 0,4$
$a_{151} = 1,8 + 60$
$a_{151} = 61,8$

Ответ: сто пятьдесят первый член арифметической прогрессии равен 61,8.

189. Найдите разность арифметической прогрессии ($x_n$), если:

1) $x_1 = 14$, $x_8 = -7$;

2) $x_5 = -4$, $x_{14} = 50.

1) Для нахождения разности арифметической прогрессии $d$ используется формула n-го члена: $x_n = x_1 + (n-1)d$. Мы также можем использовать более общую формулу, связывающую два любых члена прогрессии $x_m$ и $x_k$: $x_m = x_k + (m-k)d$.

Из этой формулы можно выразить разность $d$:

$d = \frac{x_m - x_k}{m-k}$

В данном задании даны $x_1 = 14$ и $x_8 = -7$. Подставим эти значения в формулу, приняв $m=8$ и $k=1$:

$d = \frac{x_8 - x_1}{8-1} = \frac{-7 - 14}{7} = \frac{-21}{7} = -3$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна -3.

Ответ: -3.

2) Аналогично первому пункту, воспользуемся формулой для нахождения разности $d$ через два известных члена прогрессии:

$d = \frac{x_m - x_k}{m-k}$

По условию нам даны $x_5 = -4$ и $x_{14} = 50$. Подставим эти значения в формулу, где $m=14$ и $k=5$:

$d = \frac{x_{14} - x_5}{14-5} = \frac{50 - (-4)}{9} = \frac{50 + 4}{9} = \frac{54}{9} = 6$

Таким образом, разность арифметической прогрессии равна 6.

Ответ: 6.

190. Найдите первый член арифметической прогрессии $(y_n)$, разность которой равна $d$, если:

1) $y_{12}=-23$, $d=-2$;

2) $y_6=16$, $y_{18}=52$.

1) Для нахождения первого члена арифметической прогрессии $y_1$ воспользуемся формулой n-го члена: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

По условию нам даны: $y_{12} = -23$ и разность прогрессии $d = -2$.

Подставим известные значения в формулу для $n=12$:

$y_{12} = y_1 + (12 - 1) \cdot d$

$-23 = y_1 + 11 \cdot (-2)$

$-23 = y_1 - 22$

Теперь выразим $y_1$:

$y_1 = -23 + 22$

$y_1 = -1$

Ответ: -1

2) В этом случае нам даны два члена прогрессии: $y_6 = 16$ и $y_{18} = 52$. Разность $d$ неизвестна. Сначала необходимо найти разность прогрессии.

Запишем формулу n-го члена для каждого из данных членов:

$y_6 = y_1 + (6-1)d \Rightarrow 16 = y_1 + 5d$

$y_{18} = y_1 + (18-1)d \Rightarrow 52 = y_1 + 17d$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $y_1$ и $d$:

$\begin{cases} y_1 + 5d = 16 \\ y_1 + 17d = 52 \end{cases}$

Вычтем из второго уравнения первое, чтобы найти $d$:

$(y_1 + 17d) - (y_1 + 5d) = 52 - 16$

$12d = 36$

$d = \frac{36}{12}$

$d = 3$

Теперь, зная разность $d=3$, подставим ее в первое уравнение системы, чтобы найти $y_1$:

$y_1 + 5 \cdot 3 = 16$

$y_1 + 15 = 16$

$y_1 = 16 - 15$

$y_1 = 1$

Ответ: 1

191. Найдите формулу $n$-го члена арифметической прогрессии:

1) 18, 14, 10, 6, ... ;

2) $2\frac{1}{6}$, $2\frac{1}{3}$, $2\frac{1}{2}$, $2\frac{2}{3}$, ... ;

3) $a^4$, $5a^4$, $9a^4$, $13a^4$, ... ;

4) $10 - a$, $8 - a$, $6 - a$, $4 - a$, ... .

Формула $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность.

1) Для прогрессии $18, 14, 10, 6, \dots$

Первый член $a_1 = 18$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = 14 - 18 = -4$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$a_n = 18 + (n-1)(-4)$

Упростим выражение:

$a_n = 18 - 4n + 4$

$a_n = 22 - 4n$

Ответ: $a_n = 22 - 4n$.

2) Для прогрессии $2\frac{1}{6}, 2\frac{1}{3}, 2\frac{1}{2}, 2\frac{2}{3}, \dots$

Сначала преобразуем смешанные дроби в неправильные, приведя их к общему знаменателю 6:

$a_1 = 2\frac{1}{6} = \frac{13}{6}$

$a_2 = 2\frac{1}{3} = \frac{7}{3} = \frac{14}{6}$

Первый член $a_1 = \frac{13}{6}$.

Найдем разность прогрессии: $d = a_2 - a_1 = \frac{14}{6} - \frac{13}{6} = \frac{1}{6}$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$a_n = \frac{13}{6} + (n-1)\frac{1}{6}$

Упростим выражение:

$a_n = \frac{13}{6} + \frac{n-1}{6} = \frac{13 + n - 1}{6} = \frac{n+12}{6}$

Ответ: $a_n = \frac{n+12}{6}$.

3) Для прогрессии $a^4, 5a^4, 9a^4, 13a^4, \dots$

Первый член (обозначим его $c_1$, чтобы не путать с параметром $a$) $c_1 = a^4$.

Найдем разность прогрессии: $d = c_2 - c_1 = 5a^4 - a^4 = 4a^4$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$c_n = c_1 + (n-1)d = a^4 + (n-1)4a^4$

Упростим выражение:

$c_n = a^4 + 4na^4 - 4a^4 = 4na^4 - 3a^4 = (4n-3)a^4$

Ответ: $c_n = (4n-3)a^4$.

4) Для прогрессии $10-a, 8-a, 6-a, 4-a, \dots$

Первый член (обозначим его $c_1$) $c_1 = 10-a$.

Найдем разность прогрессии: $d = c_2 - c_1 = (8-a) - (10-a) = 8-a-10+a = -2$.

Подставим найденные значения в формулу $n$-го члена:

$c_n = c_1 + (n-1)d = (10-a) + (n-1)(-2)$

Упростим выражение:

$c_n = 10-a -2n + 2 = 12 - 2n - a$

Ответ: $c_n = 12 - 2n - a$.

192. Найдите номер члена арифметической прогрессии $(z_n)$, равного 3,8, если $z_1 = 10,4$, а разность прогрессии $d = -0,6$.

Для нахождения номера члена арифметической прогрессии $(z_n)$ используется формула n-го члена:

$z_n = z_1 + (n-1)d$

где $z_n$ — n-й член прогрессии, $z_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер искомого члена.

Согласно условию задачи, мы имеем следующие данные:

$z_n = 3,8$

$z_1 = 10,4$

$d = -0,6$

Подставим эти значения в формулу n-го члена, чтобы составить уравнение для нахождения $n$:

$3,8 = 10,4 + (n-1) \cdot (-0,6)$

Теперь решим это уравнение:

$3,8 = 10,4 - 0,6(n-1)$

Перенесем слагаемые, чтобы выделить выражение с $n$:

$0,6(n-1) = 10,4 - 3,8$

$0,6(n-1) = 6,6$

Разделим обе части уравнения на 0,6:

$n-1 = \frac{6,6}{0,6}$

$n-1 = 11$

Найдем $n$:

$n = 11 + 1$

$n = 12$

Таким образом, двенадцатый член арифметической прогрессии равен 3,8.

Ответ: 12.

193. Является ли число 25 членом арифметической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = 8$, а разность прогрессии $d = 3,5$?

В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.

Для того чтобы определить, является ли число 25 членом арифметической прогрессии $(b_n)$, необходимо воспользоваться формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$b_n = b_1 + (n-1)d$

где $b_n$ — это n-й член прогрессии, $b_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

По условию задачи даны следующие значения:

• Первый член прогрессии: $b_1 = 8$
• Разность прогрессии: $d = 3,5$
• Значение предполагаемого члена прогрессии: $b_n = 25$

Наша задача — найти номер $n$. Если $n$ окажется натуральным числом (то есть целым и положительным), то число 25 является членом данной прогрессии. Подставим известные значения в формулу и решим уравнение относительно $n$:

$25 = 8 + (n-1) \cdot 3,5$

Вычтем 8 из обеих частей уравнения:

$25 - 8 = (n-1) \cdot 3,5$

$17 = (n-1) \cdot 3,5$

Теперь разделим обе части на 3,5, чтобы найти значение выражения $(n-1)$:

$n-1 = \frac{17}{3,5}$

Для удобства вычислений избавимся от десятичной дроби в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на 10:

$n-1 = \frac{17 \cdot 10}{3,5 \cdot 10} = \frac{170}{35}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 5:

$n-1 = \frac{170 \div 5}{35 \div 5} = \frac{34}{7}$

Теперь найдем $n$, прибавив 1 к обеим частям:

$n = \frac{34}{7} + 1 = \frac{34}{7} + \frac{7}{7} = \frac{41}{7}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть натуральным числом (1, 2, 3, ...), а мы получили дробное число $n = \frac{41}{7}$, которое не является целым, то число 25 не может быть членом данной арифметической прогрессии.

Ответ: нет, не является.

194. Дана арифметическая прогрессия 5,3; 4,9; 4,5; ... Найдите номер первого отрицательного члена прогрессии.

Для того чтобы найти номер первого отрицательного члена арифметической прогрессии, сначала определим ее основные параметры: первый член $a_1$ и разность $d$.

Из условия задачи имеем:

Первый член прогрессии $a_1 = 5,3$.

Второй член прогрессии $a_2 = 4,9$.

Разность арифметической прогрессии $d$ — это разница между последующим и предыдущим членами. Вычислим ее:

$d = a_2 - a_1 = 4,9 - 5,3 = -0,4$

Теперь воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Мы ищем номер $n$ первого члена прогрессии, который будет отрицательным, то есть $a_n < 0$. Составим и решим неравенство:

$a_1 + d(n-1) < 0$

Подставим известные значения $a_1 = 5,3$ и $d = -0,4$:

$5,3 + (-0,4)(n-1) < 0$

$5,3 - 0,4(n-1) < 0$

$5,3 - 0,4n + 0,4 < 0$

$5,7 - 0,4n < 0$

Перенесем $0,4n$ в правую часть, чтобы избавиться от знака "минус" перед переменной:

$5,7 < 0,4n$

Теперь разделим обе части неравенства на $0,4$:

$n > \frac{5,7}{0,4}$

$n > \frac{57}{4}$

$n > 14,25$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ должен быть целым числом, наименьшее целое число, которое больше $14,25$, это $15$.

Таким образом, первый отрицательный член прогрессии будет иметь номер $15$.

Проверим:

$a_{14} = 5,3 + (-0,4)(14-1) = 5,3 - 0,4 \cdot 13 = 5,3 - 5,2 = 0,1$. Этот член еще положительный.

$a_{15} = 5,3 + (-0,4)(15-1) = 5,3 - 0,4 \cdot 14 = 5,3 - 5,6 = -0,3$. Этот член уже отрицательный.

Ответ: 15.