Страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

217. Найдите сумму членов арифметической прогрессии $(y_n)$ с десятого по тридцать седьмой включительно, если $y_1 = 8$ и $y_{19} = 16$.

Для нахождения суммы членов арифметической прогрессии ($y_n$) с десятого по тридцать седьмой включительно, нам необходимо сначала определить разность прогрессии ($d$), а затем найти значения десятого ($y_{10}$) и тридцать седьмого ($y_{37}$) членов.

1. Нахождение разности прогрессии ($d$)

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $y_n = y_1 + (n-1)d$.

Нам даны $y_1 = 8$ и $y_{19} = 16$. Подставим эти значения в формулу для $n=19$:

$y_{19} = y_1 + (19-1)d$

$16 = 8 + 18d$

Теперь решим уравнение относительно $d$:

$18d = 16 - 8$

$18d = 8$

$d = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

2. Нахождение $y_{10}$ и $y_{37}$

Теперь, зная $y_1$ и $d$, мы можем найти любой член прогрессии. Найдем $y_{10}$ и $y_{37}$:

$y_{10} = y_1 + (10-1)d = 8 + 9 \cdot \frac{4}{9} = 8 + 4 = 12$

$y_{37} = y_1 + (37-1)d = 8 + 36 \cdot \frac{4}{9} = 8 + 4 \cdot 4 = 8 + 16 = 24$

3. Вычисление суммы

Сумма членов арифметической прогрессии с номера $k$ по номер $m$ включительно вычисляется по формуле $S = \frac{y_k + y_m}{2} \cdot (m - k + 1)$.

В нашем случае $k=10$ и $m=37$. Количество членов в сумме: $37 - 10 + 1 = 28$.

Подставим найденные значения $y_{10}$ и $y_{37}$ в формулу:

$S = \frac{y_{10} + y_{37}}{2} \cdot 28 = \frac{12 + 24}{2} \cdot 28$

$S = \frac{36}{2} \cdot 28 = 18 \cdot 28 = 504$

Ответ: 504.

218. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии, если сумма семи первых её членов равна 94,5, а сумма пятнадцати первых членов равна 112,5.

Обозначим первый член арифметической прогрессии как $a_1$, а разность прогрессии как $d$.

Формула для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии: $S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$.

Из условия задачи известно, что сумма семи первых членов равна 94,5. Запишем это с помощью формулы, подставив $n=7$ и $S_7=94,5$:

$S_7 = \frac{2a_1 + d(7-1)}{2} \cdot 7 = 94,5$

Упростим полученное выражение:

$\frac{2a_1 + 6d}{2} \cdot 7 = 94,5$

$(a_1 + 3d) \cdot 7 = 94,5$

$a_1 + 3d = \frac{94,5}{7}$

$a_1 + 3d = 13,5$

Это первое уравнение системы.

Также из условия известно, что сумма пятнадцати первых членов равна 112,5. Запишем это с помощью формулы, подставив $n=15$ и $S_{15}=112,5$:

$S_{15} = \frac{2a_1 + d(15-1)}{2} \cdot 15 = 112,5$

Упростим это выражение:

$\frac{2a_1 + 14d}{2} \cdot 15 = 112,5$

$(a_1 + 7d) \cdot 15 = 112,5$

$a_1 + 7d = \frac{112,5}{15}$

$a_1 + 7d = 7,5$

Это второе уравнение системы.

Теперь решим систему из двух полученных уравнений:

$\begin{cases} a_1 + 3d = 13,5 \\ a_1 + 7d = 7,5 \end{cases}$

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти значение $d$:

$(a_1 + 7d) - (a_1 + 3d) = 7,5 - 13,5$

$4d = -6$

$d = \frac{-6}{4} = -1,5$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:

$a_1 + 3(-1,5) = 13,5$

$a_1 - 4,5 = 13,5$

$a_1 = 13,5 + 4,5$

$a_1 = 18$

Таким образом, мы нашли, что первый член арифметической прогрессии равен 18, а ее разность равна -1,5.

Ответ: первый член равен 18, разность равна -1,5.

219. Решите уравнение:

1) $5+9+13+...+(4n+1)=324$, где $n$ — натуральное число;

2) $4+10+16+...+x=310$, где $x$ — натуральное число.

1) $5 + 9 + 13 + ... + (4n + 1) = 324$, где $n$ — натуральное число.

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d = 9 - 5 = 4$.

Общий член прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d$. В данном случае формула $n$-го члена задана как $a_n = 4n + 1$.
Проверим для первых членов:
При $n=1$, $a_1 = 4(1) + 1 = 5$.
При $n=2$, $a_2 = 4(2) + 1 = 9$.
Формула верна, и, следовательно, в сумме ровно $n$ членов. Последний член прогрессии $a_n = 4n + 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что $S_n = 324$, $a_1 = 5$ и $a_n = 4n + 1$.
$324 = \frac{5 + (4n + 1)}{2} \cdot n$

Решим это уравнение:
$324 = \frac{6 + 4n}{2} \cdot n$
$324 = (3 + 2n) \cdot n$
$324 = 3n + 2n^2$
$2n^2 + 3n - 324 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-324) = 9 + 8 \cdot 324 = 9 + 2592 = 2601$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Найдем значения $n$:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 51}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 51}{2 \cdot 2} = \frac{-54}{4} = -13.5$

По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -13.5$ не является решением.

Ответ: $n = 12$.

2) $4 + 10 + 16 + ... + x = 310$, где $x$ — натуральное число.

Данная сумма также является суммой членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = 10 - 4 = 6$.

Последний член прогрессии $a_n = x$. Сумма $S_n = 310$. Количество членов $n$ неизвестно.

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии, чтобы связать $x$ и $n$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$x = 4 + (n-1) \cdot 6$
$x = 4 + 6n - 6$
$x = 6n - 2$

Теперь воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $S_n = 310$, $a_1 = 4$, $a_n = x = 6n - 2$.
$310 = \frac{4 + (6n - 2)}{2} \cdot n$

Решим полученное уравнение относительно $n$:
$310 = \frac{2 + 6n}{2} \cdot n$
$310 = (1 + 3n) \cdot n$
$310 = n + 3n^2$
$3n^2 + n - 310 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-310) = 1 + 12 \cdot 310 = 1 + 3720 = 3721$
$\sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61$

Найдем значения $n$:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 61}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 61}{2 \cdot 3} = \frac{-62}{6} = -\frac{31}{3}$

Количество членов $n$ должно быть натуральным числом, поэтому $n = 10$.

Теперь найдем $x$, зная, что это 10-й член прогрессии:
$x = 6n - 2 = 6 \cdot 10 - 2 = 60 - 2 = 58$

Ответ: $x = 58$.

220. Найдите четыре первых члена геометрической прогрессии ($b_n$), если $b_1 = -2$, а знаменатель $q = -3$.

По определению геометрической прогрессии, каждый следующий член последовательности равен предыдущему, умноженному на знаменатель прогрессии $q$. Общая формула для нахождения n-го члена прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.

Нам даны первый член прогрессии $b_1 = -2$ и знаменатель $q = -3$.

Вычислим последовательно первые четыре члена прогрессии.

1. Первый член нам уже известен: $b_1 = -2$.

2. Второй член найдем, умножив первый член на знаменатель $q$:

$b_2 = b_1 \cdot q = (-2) \cdot (-3) = 6$.

3. Третий член найдем, умножив второй член на знаменатель $q$:

$b_3 = b_2 \cdot q = 6 \cdot (-3) = -18$.

4. Четвертый член найдем, умножив третий член на знаменатель $q$:

$b_4 = b_3 \cdot q = (-18) \cdot (-3) = 54$.

Таким образом, первые четыре члена геометрической прогрессии равны -2, 6, -18, 54.

Ответ: -2; 6; -18; 54.

221. Первый член геометрической прогрессии $b_1 = \frac{1}{625}$, а знаменатель $q = -5$. Найдите:

1) $b_3$;

2) $b_7$.

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$, где $b_1$ — первый член прогрессии, $q$ — знаменатель, а $n$ — номер члена прогрессии.

По условию задачи нам даны: $b_1 = \frac{1}{625}$ и $q = -5$.

1) $b_3$;
Чтобы найти третий член прогрессии ($b_3$), подставим $n=3$ в формулу:
$b_3 = b_1 \cdot q^{3-1} = b_1 \cdot q^2$
Теперь подставим известные значения $b_1$ и $q$:
$b_3 = \frac{1}{625} \cdot (-5)^2 = \frac{1}{625} \cdot 25$
Сократим дробь:
$b_3 = \frac{25}{625} = \frac{1}{25}$
Ответ: $\frac{1}{25}$

2) $b_7$.
Чтобы найти седьмой член прогрессии ($b_7$), подставим $n=7$ в формулу:
$b_7 = b_1 \cdot q^{7-1} = b_1 \cdot q^6$
Подставим известные значения $b_1$ и $q$:
$b_7 = \frac{1}{625} \cdot (-5)^6$
Так как показатель степени 6 является четным числом, то $(-5)^6 = 5^6$. Также представим $625$ как $5^4$.
$b_7 = \frac{1}{5^4} \cdot 5^6 = \frac{5^6}{5^4} = 5^{6-4} = 5^2 = 25$
Ответ: $25$

222. Найдите знаменатель и пятый член геометрической прогрессии $\frac{1}{256}$, $-\frac{1}{128}$, $\frac{1}{64}$, ....

Знаменатель прогрессии

Дана геометрическая прогрессия $(b_n)$, первые члены которой: $b_1 = \frac{1}{256}$, $b_2 = -\frac{1}{128}$, $b_3 = \frac{1}{64}$, ...
Знаменатель геометрической прогрессии $q$ — это постоянное число, на которое умножается каждый член прогрессии, чтобы получить следующий. Его можно найти, разделив любой член прогрессии на предыдущий.
Найдем знаменатель, разделив второй член на первый:
$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-1/128}{1/256} = -\frac{1}{128} \cdot \frac{256}{1} = -\frac{256}{128} = -2$.
Для проверки можно разделить третий член на второй:
$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{1/64}{-1/128} = \frac{1}{64} \cdot (-\frac{128}{1}) = -\frac{128}{64} = -2$.
Знаменатель прогрессии $q$ равен -2.
Ответ: знаменатель равен -2.

Пятый член прогрессии

Для нахождения n-го члена геометрической прогрессии используется формула: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$.
Нам необходимо найти пятый член прогрессии, т.е. $b_5$. Для этого подставим в формулу известные значения: $n=5$, $b_1 = \frac{1}{256}$ и $q = -2$.
$b_5 = b_1 \cdot q^{5-1} = b_1 \cdot q^4$
$b_5 = \frac{1}{256} \cdot (-2)^4$
Сначала вычислим степень:
$(-2)^4 = (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) \cdot (-2) = 16$.
Теперь подставим это значение обратно в формулу:
$b_5 = \frac{1}{256} \cdot 16 = \frac{16}{256}$.
Сократим полученную дробь. Поскольку $256 = 16 \cdot 16$, получаем:
$b_5 = \frac{16}{16 \cdot 16} = \frac{1}{16}$.
Ответ: пятый член равен $\frac{1}{16}$.

223. Найдите знаменатель геометрической прогрессии $(b_n)$, если:

1) $b_1 = 4000, b_4 = 256;$

2) $b_2 = 6, b_4 = 18.$

1) Для нахождения знаменателя геометрической прогрессии $q$ воспользуемся формулой n-го члена: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. В нашем случае $n=4$, поэтому $b_4 = b_1 \cdot q^{4-1} = b_1 \cdot q^3$. Подставим известные значения $b_1 = 4000$ и $b_4 = 256$:
$256 = 4000 \cdot q^3$
Выразим $q^3$ из этого уравнения:
$q^3 = \frac{256}{4000}$
Сократим дробь. Разделим числитель и знаменатель на 64: $256 = 4 \cdot 64$, $4000 = 62.5 \cdot 64$. Это неудобно. Сократим последовательно: $q^3 = \frac{256}{4000} = \frac{128}{2000} = \frac{64}{1000} = \frac{8}{125}$
Теперь найдем $q$, извлекая кубический корень:
$q = \sqrt[3]{\frac{8}{125}} = \frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{125}} = \frac{2}{5} = 0.4$
Ответ: $0.4$

2) В этом случае воспользуемся общей формулой, связывающей два любых члена геометрической прогрессии: $b_n = b_m \cdot q^{n-m}$. Подставим известные значения $b_2 = 6$ и $b_4 = 18$ (здесь $n=4, m=2$):
$b_4 = b_2 \cdot q^{4-2}$
$18 = 6 \cdot q^2$
Выразим $q^2$:
$q^2 = \frac{18}{6} = 3$
Это уравнение имеет два решения:
$q = \sqrt{3}$ и $q = -\sqrt{3}$.
Ответ: $\pm\sqrt{3}$

224. Найдите первый член геометрической прогрессии ($x_n$), знаменатель которой равен $q$, если:

1) $x_7 = \frac{3}{16}$, $q = \frac{1}{2}$;

2) $x_3 = 6$, $x_6 = 162$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена геометрической прогрессии ($x_n$):

$x_n = x_1 \cdot q^{n-1}$,

где $x_1$ — первый член прогрессии, а $q$ — её знаменатель.

1) По условию дано: $x_7 = \frac{3}{16}$ и $q = \frac{1}{2}$.

Наша задача — найти $x_1$.

Подставим известные значения в формулу n-го члена для $n=7$:

$x_7 = x_1 \cdot q^{7-1} = x_1 \cdot q^6$

$\frac{3}{16} = x_1 \cdot (\frac{1}{2})^6$

Сначала вычислим значение $(\frac{1}{2})^6$:

$(\frac{1}{2})^6 = \frac{1^6}{2^6} = \frac{1}{64}$

Теперь подставим полученное значение обратно в уравнение:

$\frac{3}{16} = x_1 \cdot \frac{1}{64}$

Чтобы найти $x_1$, умножим обе части уравнения на 64:

$x_1 = \frac{3}{16} \cdot 64$

Сократим 64 и 16:

$x_1 = 3 \cdot \frac{64}{16} = 3 \cdot 4 = 12$

Ответ: $12$

2) По условию дано: $x_3 = 6$ и $x_6 = 162$.

В этом случае нам неизвестны ни первый член $x_1$, ни знаменатель $q$.

Сначала найдем знаменатель прогрессии $q$. Запишем выражения для $x_3$ и $x_6$ с помощью общей формулы:

$x_3 = x_1 \cdot q^{3-1} = x_1 \cdot q^2$

$x_6 = x_1 \cdot q^{6-1} = x_1 \cdot q^5$

Таким образом, мы имеем два уравнения:

1) $x_1 \cdot q^2 = 6$

2) $x_1 \cdot q^5 = 162$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить $x_1$ и найти $q$:

$\frac{x_1 \cdot q^5}{x_1 \cdot q^2} = \frac{162}{6}$

После сокращения $x_1$ и упрощения степеней $q$ получаем:

$q^{5-2} = 27$

$q^3 = 27$

Отсюда находим $q$, извлекая кубический корень:

$q = \sqrt[3]{27} = 3$

Теперь, зная, что $q=3$, найдем $x_1$ из первого уравнения: $x_1 \cdot q^2 = 6$.

Подставим значение $q$:

$x_1 \cdot 3^2 = 6$

$x_1 \cdot 9 = 6$

Выразим $x_1$:

$x_1 = \frac{6}{9}$

Сократим дробь на 3:

$x_1 = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

225. Число 192 является членом геометрической прогрессии $ \frac{3}{8}, \frac{1}{3}, \frac{3}{2}, \ldots $. Найдите номер этого члена.

Дана геометрическая прогрессия. Обозначим её члены как $b_1, b_2, b_3, \dots$. Из условия задачи имеем:$b_1 = \frac{3}{8}$$b_2 = \frac{1}{3}$$b_3 = \frac{3}{2}$

Знаменатель геометрической прогрессии $q$ должен быть постоянным. Найдем его, разделив второй член на первый, и третий на второй:$q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{1/3}{3/8} = \frac{1}{3} \cdot \frac{8}{3} = \frac{8}{9}$$q = \frac{b_3}{b_2} = \frac{3/2}{1/3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{1} = \frac{9}{2}$

Полученные значения знаменателя не равны друг другу ($\frac{8}{9} \neq \frac{9}{2}$), что указывает на возможную опечатку в условии задачи. Наиболее вероятной является опечатка во втором члене прогрессии. Предположим, что первый и третий члены указаны верно, и найдем знаменатель $q$ из соотношения $b_3 = b_1 \cdot q^2$.

$q^2 = \frac{b_3}{b_1} = \frac{3/2}{3/8} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$Отсюда $q = \sqrt{4} = 2$ или $q = -2$. Так как все приведенные члены прогрессии положительны, будем считать, что знаменатель прогрессии также положителен, то есть $q = 2$. При таком знаменателе второй член был бы равен $b_2 = b_1 \cdot q = \frac{3}{8} \cdot 2 = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

Итак, будем считать, что первый член прогрессии $b_1 = \frac{3}{8}$, а знаменатель $q = 2$. Нам нужно найти номер $n$ члена прогрессии, который равен 192. Формула n-го члена геометрической прогрессии: $b_n = b_1 \cdot q^{n-1}$. Подставим известные значения в формулу:$192 = \frac{3}{8} \cdot 2^{n-1}$

Решим полученное уравнение относительно $n$:$192 \cdot 8 = 3 \cdot 2^{n-1}$$1536 = 3 \cdot 2^{n-1}$$2^{n-1} = \frac{1536}{3}$$2^{n-1} = 512$

Представим число 512 в виде степени двойки:$512 = 2^9$Следовательно, мы имеем равенство:$2^{n-1} = 2^9$Приравнивая показатели степеней, получаем:$n - 1 = 9$$n = 9 + 1$$n = 10$

Таким образом, число 192 является 10-м членом данной геометрической прогрессии. Ответ: 10

226. Последовательность $(b_n)$ задана формулой $n$-го члена $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$. Является ли эта последовательность геометрической прогрессией? В случае утвердительного ответа укажите её первый член и знаменатель.

Для того чтобы определить, является ли последовательность $(b_n)$, заданная формулой $b_n = 4 \cdot 3^{n-1}$, геометрической прогрессией, необходимо проверить, является ли отношение любого ее члена (начиная со второго) к предыдущему члену постоянной величиной. Эта величина называется знаменателем геометрической прогрессии ($q$).

Найдем отношение $(n+1)$-го члена к $n$-му члену последовательности: $\frac{b_{n+1}}{b_n}$.
Выразим $(n+1)$-й член последовательности, подставив в формулу $n+1$ вместо $n$:
$b_{n+1} = 4 \cdot 3^{(n+1)-1} = 4 \cdot 3^n$.

Теперь вычислим отношение:
$q = \frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{4 \cdot 3^n}{4 \cdot 3^{n-1}}$.
Сократим общий множитель 4:
$q = \frac{3^n}{3^{n-1}}$.
Используя свойство степеней $\frac{a^m}{a^k} = a^{m-k}$, получаем:
$q = 3^{n - (n-1)} = 3^{n-n+1} = 3^1 = 3$.

Поскольку отношение $\frac{b_{n+1}}{b_n}$ равно константе 3 и не зависит от номера члена $n$, данная последовательность является геометрической прогрессией со знаменателем $q=3$.

Теперь найдем первый член прогрессии $b_1$, подставив $n=1$ в исходную формулу:
$b_1 = 4 \cdot 3^{1-1} = 4 \cdot 3^0$.
Так как любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно 1, то:
$b_1 = 4 \cdot 1 = 4$.

Ответ: Да, последовательность является геометрической прогрессией. Ее первый член $b_1 = 4$, а знаменатель $q = 3$.