Номер 219, страница 36 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

219. Решите уравнение:

1) $5+9+13+...+(4n+1)=324$, где $n$ — натуральное число;

2) $4+10+16+...+x=310$, где $x$ — натуральное число.

1) $5 + 9 + 13 + ... + (4n + 1) = 324$, где $n$ — натуральное число.

Левая часть уравнения представляет собой сумму членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 5$.

Разность прогрессии $d = 9 - 5 = 4$.

Общий член прогрессии имеет вид $a_k = a_1 + (k-1)d$. В данном случае формула $n$-го члена задана как $a_n = 4n + 1$.
Проверим для первых членов:
При $n=1$, $a_1 = 4(1) + 1 = 5$.
При $n=2$, $a_2 = 4(2) + 1 = 9$.
Формула верна, и, следовательно, в сумме ровно $n$ членов. Последний член прогрессии $a_n = 4n + 1$.

Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$

Подставим известные значения в формулу. Мы знаем, что $S_n = 324$, $a_1 = 5$ и $a_n = 4n + 1$.
$324 = \frac{5 + (4n + 1)}{2} \cdot n$

Решим это уравнение:
$324 = \frac{6 + 4n}{2} \cdot n$
$324 = (3 + 2n) \cdot n$
$324 = 3n + 2n^2$
$2n^2 + 3n - 324 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-324) = 9 + 8 \cdot 324 = 9 + 2592 = 2601$
$\sqrt{D} = \sqrt{2601} = 51$

Найдем значения $n$:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 51}{2 \cdot 2} = \frac{48}{4} = 12$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 51}{2 \cdot 2} = \frac{-54}{4} = -13.5$

По условию задачи, $n$ — натуральное число, поэтому корень $n_2 = -13.5$ не является решением.

Ответ: $n = 12$.

2) $4 + 10 + 16 + ... + x = 310$, где $x$ — натуральное число.

Данная сумма также является суммой членов арифметической прогрессии.

Определим параметры этой прогрессии:

Первый член $a_1 = 4$.

Разность прогрессии $d = 10 - 4 = 6$.

Последний член прогрессии $a_n = x$. Сумма $S_n = 310$. Количество членов $n$ неизвестно.

Используем формулу $n$-го члена арифметической прогрессии, чтобы связать $x$ и $n$:
$a_n = a_1 + (n-1)d$
$x = 4 + (n-1) \cdot 6$
$x = 4 + 6n - 6$
$x = 6n - 2$

Теперь воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{a_1 + a_n}{2} \cdot n$
Подставим известные значения: $S_n = 310$, $a_1 = 4$, $a_n = x = 6n - 2$.
$310 = \frac{4 + (6n - 2)}{2} \cdot n$

Решим полученное уравнение относительно $n$:
$310 = \frac{2 + 6n}{2} \cdot n$
$310 = (1 + 3n) \cdot n$
$310 = n + 3n^2$
$3n^2 + n - 310 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-310) = 1 + 12 \cdot 310 = 1 + 3720 = 3721$
$\sqrt{D} = \sqrt{3721} = 61$

Найдем значения $n$:
$n_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 61}{2 \cdot 3} = \frac{60}{6} = 10$
$n_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - 61}{2 \cdot 3} = \frac{-62}{6} = -\frac{31}{3}$

Количество членов $n$ должно быть натуральным числом, поэтому $n = 10$.

Теперь найдем $x$, зная, что это 10-й член прогрессии:
$x = 6n - 2 = 6 \cdot 10 - 2 = 60 - 2 = 58$

Ответ: $x = 58$.