Номер 213, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

213. Найдите разность $d$ и тринадцатый член $a_{13}$ арифметической прогрессии, первый член которой $a_1 = 9$, а сумма десяти первых членов $S_{10} = -15$.

Для решения этой задачи воспользуемся формулами арифметической прогрессии. По условию нам даны первый член прогрессии $a_1 = 9$ и сумма первых десяти членов $S_{10} = -15$.

Разность арифметической прогрессии

Формула для суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии выглядит следующим образом:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — количество членов.

Подставим в эту формулу известные нам значения ($n=10$, $a_1=9$ и $S_{10}=-15$) и найдем разность $d$:

$-15 = \frac{2 \cdot 9 + d(10-1)}{2} \cdot 10$

Упростим уравнение:

$-15 = (18 + 9d) \cdot 5$

$-15 = 90 + 45d$

Перенесем 90 в левую часть уравнения:

$45d = -15 - 90$

$45d = -105$

$d = -\frac{105}{45}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$d = -\frac{7}{3}$

Ответ: разность прогрессии равна $-\frac{7}{3}$.

Тринадцатый член арифметической прогрессии

Теперь, зная разность прогрессии, мы можем найти любой ее член. Формула для нахождения n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + d(n-1)$

Найдем тринадцатый член ($a_{13}$), подставив $n=13$, $a_1 = 9$ и $d = -\frac{7}{3}$:

$a_{13} = 9 + (-\frac{7}{3})(13-1)$

$a_{13} = 9 + (-\frac{7}{3}) \cdot 12$

$a_{13} = 9 - \frac{7 \cdot 12}{3}$

$a_{13} = 9 - 7 \cdot 4$

$a_{13} = 9 - 28$

$a_{13} = -19$

Ответ: тринадцатый член прогрессии равен -19.