Номер 215, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

215. Первый член арифметической прогрессии равен 16, а разность равна -4. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной -324?

По условию задачи нам даны:
- первый член арифметической прогрессии $a_1 = 16$;
- разность прогрессии $d = -4$;
- сумма первых $n$ членов прогрессии $S_n = -324$.

Нужно найти количество членов $n$.

Для решения задачи воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставим в формулу известные значения и решим полученное уравнение относительно $n$:
$-324 = \frac{2 \cdot 16 + (-4)(n-1)}{2} \cdot n$
$-324 = \frac{32 - 4n + 4}{2} \cdot n$
$-324 = \frac{36 - 4n}{2} \cdot n$
$-324 = (18 - 2n) \cdot n$
$-324 = 18n - 2n^2$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2n^2 - 18n - 324 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2 для упрощения:
$n^2 - 9n - 162 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-162) = 81 + 648 = 729$
$\sqrt{D} = \sqrt{729} = 27$

Теперь найдем возможные значения для $n$:
$n_1 = \frac{-(-9) + 27}{2 \cdot 1} = \frac{9 + 27}{2} = \frac{36}{2} = 18$
$n_2 = \frac{-(-9) - 27}{2 \cdot 1} = \frac{9 - 27}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку количество членов прогрессии $n$ должно быть натуральным числом, корень $n_2 = -9$ не удовлетворяет условию задачи. Следовательно, искомое количество членов равно 18.

Ответ: 18.