Номер 209, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

209. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии $-5.6; -5; -4.4; \ldots$.

Заданная последовательность чисел является арифметической прогрессией. Для решения задачи нам необходимо найти ее первый член, разность, количество отрицательных членов и их сумму.

1. Найдем первый член и разность прогрессии.

Первый член прогрессии $a_1$ нам дан:

$a_1 = -5,6$

Второй член прогрессии $a_2$ также дан:

$a_2 = -5$

Разность арифметической прогрессии $d$ равна разности между последующим и предыдущим членом:

$d = a_2 - a_1 = -5 - (-5,6) = -5 + 5,6 = 0,6$

2. Найдем количество отрицательных членов прогрессии.

Для этого воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $a_n = a_1 + (n-1)d$ и составим неравенство $a_n < 0$:

$-5,6 + (n-1) \cdot 0,6 < 0$

$(n-1) \cdot 0,6 < 5,6$

$n-1 < \frac{5,6}{0,6}$

$n-1 < \frac{56}{6}$

$n-1 < \frac{28}{3}$

$n-1 < 9\frac{1}{3}$

$n < 10\frac{1}{3}$

Поскольку номер члена прогрессии $n$ может быть только натуральным числом, то отрицательными будут члены с 1-го по 10-й включительно. Таким образом, всего в прогрессии 10 отрицательных членов.

3. Найдем сумму всех отрицательных членов.

Нам нужно найти сумму первых 10 членов прогрессии ($S_{10}$). Воспользуемся формулой суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

Подставляем наши значения: $n=10$, $a_1 = -5,6$ и $d = 0,6$.

$S_{10} = \frac{2 \cdot (-5,6) + 0,6 \cdot (10-1)}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-11,2 + 0,6 \cdot 9}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-11,2 + 5,4}{2} \cdot 10$

$S_{10} = \frac{-5,8}{2} \cdot 10$

$S_{10} = -2,9 \cdot 10 = -29$

Сумма всех отрицательных членов арифметической прогрессии равна -29.

Ответ: -29