Номер 207, страница 35 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

207. Найдите сумму двадцати первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_7 + a_{13} = 21$ и $a_8 + a_{12} - a_{15} = 3$.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член прогрессии, а $d$ — её разность. Требуется найти сумму первых двадцати членов $S_{20}$. Формула суммы первых $n$ членов: $S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$.

Сначала найдем $a_1$ и $d$, используя данные условия.

1. Преобразуем данные уравнения, используя формулу n-го члена.

Из первого условия $a_7 + a_{13} = 21$ имеем:
$(a_1 + (7-1)d) + (a_1 + (13-1)d) = 21$
$(a_1 + 6d) + (a_1 + 12d) = 21$
$2a_1 + 18d = 21$

Из второго условия $a_8 + a_{12} - a_{15} = 3$ имеем:
$(a_1 + (8-1)d) + (a_1 + (12-1)d) - (a_1 + (15-1)d) = 3$
$(a_1 + 7d) + (a_1 + 11d) - (a_1 + 14d) = 3$
$a_1 + 7d + 11d - 14d = 3$
$a_1 + 4d = 3$

2. Решим систему уравнений.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} 2a_1 + 18d = 21 \\ a_1 + 4d = 3 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = 3 - 4d$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:
$2(3 - 4d) + 18d = 21$
$6 - 8d + 18d = 21$
$10d = 21 - 6$
$10d = 15$
$d = \frac{15}{10} = 1.5$

Теперь найдем $a_1$, подставив значение $d$ в выражение для $a_1$:
$a_1 = 3 - 4 \cdot 1.5 = 3 - 6 = -3$

3. Найдем сумму двадцати первых членов прогрессии.

Воспользуемся формулой суммы для $n=20$:
$S_{20} = \frac{2a_1 + (20-1)d}{2} \cdot 20 = (2a_1 + 19d) \cdot 10$

Подставим найденные значения $a_1 = -3$ и $d = 1.5$ в формулу:
$S_{20} = (2 \cdot (-3) + 19 \cdot 1.5) \cdot 10$
$S_{20} = (-6 + 28.5) \cdot 10$
$S_{20} = 22.5 \cdot 10$
$S_{20} = 225$

Ответ: 225