Номер 201, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

201. При каком значении $n$ значения выражений $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$ являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$.

$a_1 = n^2$
$a_2 = 2n + 3$
$a_3 = 3n + 4$
$a_4 = n^2 + n + 7$

Для того чтобы последовательность чисел была арифметической прогрессией, разность между любым последующим и предыдущим ее членом должна быть постоянной. Обозначим эту разность (шаг прогрессии) как $d$. Таким образом, должны выполняться следующие равенства:

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = d$

Это условие можно представить в виде системы из двух уравнений:

1) $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$
2) $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Решим первое уравнение, подставив в него соответствующие выражения:

$(2n + 3) - n^2 = (3n + 4) - (2n + 3)$
$2n + 3 - n^2 = 3n + 4 - 2n - 3$
$2n + 3 - n^2 = n + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - 2n + n - 3 + 1 = 0$
$n^2 - n - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $1$. Корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = -1$.

Теперь решим второе уравнение:

$(3n + 4) - (2n + 3) = (n^2 + n + 7) - (3n + 4)$
$3n + 4 - 2n - 3 = n^2 + n + 7 - 3n - 4$
$n + 1 = n^2 - 2n + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$n^2 - 2n - n + 3 - 1 = 0$
$n^2 - 3n + 2 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета: произведение корней равно $2$, а их сумма равна $3$. Корни: $n_3 = 1$ и $n_4 = 2$.

Значение $n$ должно удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Сравнивая полученные корни ($n_1=2, n_2=-1$ и $n_3=1, n_4=2$), мы видим, что единственным общим решением является $n=2$.

Теперь, зная значение $n$, найдем члены арифметической прогрессии, подставив $n = 2$ в исходные выражения:

$a_1 = n^2 = 2^2 = 4$
$a_2 = 2n + 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$
$a_3 = 3n + 4 = 3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4 = 10$
$a_4 = n^2 + n + 7 = 2^2 + 2 + 7 = 4 + 2 + 7 = 13$

Таким образом, мы получили последовательность: 4, 7, 10, 13. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 3$.

Ответ: Значение $n = 2$. Члены прогрессии: 4, 7, 10, 13.