Номер 199, страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

199. Даны две бесконечные арифметические прогрессии.

Если к каждому члену одной прогрессии прибавить соответствующий член другой прогрессии, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Чтобы это доказать, рассмотрим две произвольные арифметические прогрессии в общем виде.

Пусть первая арифметическая прогрессия — это последовательность $(a_n)$, где $a_1$ — её первый член, а $d_1$ — её разность. Формула для n-го члена этой прогрессии имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d_1$.

Пусть вторая арифметическая прогрессия — это последовательность $(b_n)$, где $b_1$ — её первый член, а $d_2$ — её разность. Формула для n-го члена этой прогрессии:$b_n = b_1 + (n-1)d_2$.

Согласно условию, мы формируем новую последовательность $(c_n)$, каждый член которой является суммой соответствующих членов прогрессий $(a_n)$ и $(b_n)$:$c_n = a_n + b_n$.

Теперь подставим формулы для $a_n$ и $b_n$ в выражение для $c_n$ и преобразуем его:$c_n = (a_1 + (n-1)d_1) + (b_1 + (n-1)d_2)$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы n-го члена арифметической прогрессии:$c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)d_1 + (n-1)d_2$$c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)(d_1 + d_2)$.

Полученное выражение является формулой n-го члена некоторой последовательности $(c_n)$. Эта формула полностью соответствует определению арифметической прогрессии, где:

• Первый член $c_1 = a_1 + b_1$ (сумма первых членов исходных прогрессий).
• Разность $d_c = d_1 + d_2$ (сумма разностей исходных прогрессий).

Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности постоянна и равна $d_c$, полученная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.