Страница 34 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

195. Найдите количество отрицательных членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -24$, а разность прогрессии равна 1,2.

Для решения задачи воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:

$a_n = a_1 + (n-1)d$

Где $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, а $n$ — номер члена прогрессии.

По условию задачи нам дано:

$a_1 = -24$

$d = 1.2$

Нам нужно найти количество отрицательных членов прогрессии, то есть найти все натуральные числа $n$, для которых выполняется неравенство $a_n < 0$.

Подставим известные значения в неравенство:

$-24 + (n-1) \cdot 1.2 < 0$

Теперь решим это неравенство относительно $n$:

$1.2(n-1) < 24$

Разделим обе части неравенства на 1.2:

$n-1 < \frac{24}{1.2}$

$n-1 < 20$

Прибавим 1 к обеим частям неравенства:

$n < 21$

Поскольку $n$ — это номер члена прогрессии, оно должно быть натуральным числом ($n \in \mathbb{N}$). Таким образом, номера отрицательных членов прогрессии — это все натуральные числа от 1 до 20 включительно ($n=1, 2, 3, \ldots, 20$).

Количество таких номеров равно 20.

Проверим: $a_{20} = -24 + (20-1) \cdot 1.2 = -24 + 19 \cdot 1.2 = -24 + 22.8 = -1.2$. Это отрицательное число. $a_{21} = -24 + (21-1) \cdot 1.2 = -24 + 20 \cdot 1.2 = -24 + 24 = 0$. Это число не является отрицательным.

Следовательно, количество отрицательных членов прогрессии равно 20. Ответ: 20

196. Между числами -6 и 6 вставьте семь таких чисел, чтобы они вместе с данными числами образовали арифметическую прогрессию.

По условию задачи, нам нужно вставить семь чисел между -6 и 6 так, чтобы все девять чисел (данные два и вставленные семь) образовали арифметическую прогрессию.

Пусть эта арифметическая прогрессия будет $(a_n)$. Тогда ее первый член $a_1 = -6$.

Так как мы вставляем семь чисел, общее количество членов в прогрессии будет $n = 1 + 7 + 1 = 9$.

Последний, девятый, член прогрессии будет равен $a_9 = 6$.

Для нахождения вставленных чисел нам нужно сначала определить разность арифметической прогрессии $d$. Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии:
$a_n = a_1 + (n-1)d$

Подставим в эту формулу наши значения для $n=9$:
$a_9 = a_1 + (9-1)d$
$6 = -6 + 8d$

Теперь решим полученное уравнение относительно $d$:
$8d = 6 - (-6)$
$8d = 12$
$d = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1,5$

Зная разность прогрессии $d = 1,5$, мы можем найти семь искомых чисел. Это будут члены прогрессии со второго по восьмой. Найдем их последовательно, прибавляя $d$ к предыдущему члену:
$a_2 = a_1 + d = -6 + 1,5 = -4,5$
$a_3 = a_2 + d = -4,5 + 1,5 = -3$
$a_4 = a_3 + d = -3 + 1,5 = -1,5$
$a_5 = a_4 + d = -1,5 + 1,5 = 0$
$a_6 = a_5 + d = 0 + 1,5 = 1,5$
$a_7 = a_6 + d = 1,5 + 1,5 = 3$
$a_8 = a_7 + d = 3 + 1,5 = 4,5$

Таким образом, семь чисел, которые нужно вставить между -6 и 6, это -4,5; -3; -1,5; 0; 1,5; 3; 4,5.

Ответ: -4,5; -3; -1,5; 0; 1,5; 3; 4,5.

197. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии $(a_n)$, если:

1) $a_4 + a_8 = 35$ и $a_3 + a_{21} = 65$;

2) $a_5 + a_9 = 42$ и $a_3 \cdot a_{10} = 165$.

1) Даны условия для арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_4 + a_8 = 35$ и $a_3 + a_{21} = 65$.

Воспользуемся формулой n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$, где $a_1$ — первый член, а $d$ — разность прогрессии. Выразим члены, данные в условии, через $a_1$ и $d$:
$a_4 = a_1 + 3d$
$a_8 = a_1 + 7d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_{21} = a_1 + 20d$

Подставим эти выражения в заданные уравнения, чтобы составить систему:
Уравнение 1: $(a_1 + 3d) + (a_1 + 7d) = 35 \implies 2a_1 + 10d = 35$
Уравнение 2: $(a_1 + 2d) + (a_1 + 20d) = 65 \implies 2a_1 + 22d = 65$

Теперь решим полученную систему линейных уравнений:
$2a_1 + 10d = 35$
$2a_1 + 22d = 65$
Вычтем первое уравнение из второго:
$(2a_1 + 22d) - (2a_1 + 10d) = 65 - 35$
$12d = 30$
$d = \frac{30}{12} = \frac{5}{2} = 2.5$

Подставим найденное значение $d$ в первое уравнение, чтобы найти $a_1$:
$2a_1 + 10(2.5) = 35$
$2a_1 + 25 = 35$
$2a_1 = 10$
$a_1 = 5$

Ответ: $a_1 = 5, d = 2.5$.

2) Даны условия для арифметической прогрессии $(a_n)$: $a_5 + a_9 = 42$ и $a_3 \cdot a_{10} = 165$.

Используя формулу $a_n = a_1 + (n-1)d$, выразим члены прогрессии через $a_1$ и $d$:
$a_5 = a_1 + 4d$
$a_9 = a_1 + 8d$
$a_3 = a_1 + 2d$
$a_{10} = a_1 + 9d$

Подставим выражения в первое уравнение:
$(a_1 + 4d) + (a_1 + 8d) = 42$
$2a_1 + 12d = 42$
Разделив на 2, получим: $a_1 + 6d = 21$.
Отсюда можно выразить $a_1$: $a_1 = 21 - 6d$.

Теперь подставим выражения во второе уравнение:
$(a_1 + 2d)(a_1 + 9d) = 165$
Заменим $a_1$ на $21 - 6d$:
$((21 - 6d) + 2d)((21 - 6d) + 9d) = 165$
$(21 - 4d)(21 + 3d) = 165$

Раскроем скобки, чтобы получить квадратное уравнение относительно $d$:
$21 \cdot 21 + 21 \cdot 3d - 4d \cdot 21 - 4d \cdot 3d = 165$
$441 + 63d - 84d - 12d^2 = 165$
$441 - 21d - 12d^2 = 165$
$-12d^2 - 21d + 276 = 0$
Разделим уравнение на -3: $4d^2 + 7d - 92 = 0$.

Решим это квадратное уравнение. Найдем дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-92) = 49 + 1472 = 1521$.
Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{1521} = 39$.
Находим два возможных значения для $d$:
$d_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + 39}{2 \cdot 4} = \frac{32}{8} = 4$
$d_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - 39}{2 \cdot 4} = \frac{-46}{8} = -\frac{23}{4} = -5.75$

Теперь для каждого значения $d$ найдем соответствующее значение $a_1$ по формуле $a_1 = 21 - 6d$.
Случай 1: Если $d = 4$, то $a_1 = 21 - 6(4) = 21 - 24 = -3$.
Случай 2: Если $d = -5.75$, то $a_1 = 21 - 6(-5.75) = 21 + 34.5 = 55.5$.
Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условиям задачи.

Ответ: $a_1 = -3, d = 4$ или $a_1 = 55.5, d = -5.75$.

198. Является ли арифметической прогрессией последовательность ($a_n$), заданная формулой $n$-го члена:

1) $a_n = -8n - 1;$

2) $a_n = 5n^2 - 4n;$

3) $a_n = -4,4n;$

4) $a_n = 25 - 0,16n;$

5) $a_n = \frac{n-3}{n+2};$

6) $a_n = \frac{4-3n}{6}?$

В случае утвердительного ответа укажите первый член и разность прогрессии.

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый следующий член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом $d$, называемым разностью прогрессии. Чтобы проверить, является ли заданная последовательность $(a_n)$ арифметической прогрессией, необходимо найти разность между $(n+1)$-м и $n$-м членами: $d = a_{n+1} - a_n$. Если полученное выражение является константой (не зависит от $n$), то последовательность является арифметической прогрессией. В противном случае — не является.

1) $a_n = -8n - 1$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -8(n+1) - 1 = -8n - 8 - 1 = -8n - 9$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-8n - 9) - (-8n - 1) = -8n - 9 + 8n + 1 = -8$.

Так как разность $d = -8$ является постоянным числом (не зависит от $n$), последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = -8 \cdot 1 - 1 = -9$.

Разность прогрессии $d = -8$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -9$, разность прогрессии $d = -8$.

2) $a_n = 5n^2 - 4n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 5(n+1)^2 - 4(n+1) = 5(n^2 + 2n + 1) - 4n - 4 = 5n^2 + 10n + 5 - 4n - 4 = 5n^2 + 6n + 1$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (5n^2 + 6n + 1) - (5n^2 - 4n) = 5n^2 + 6n + 1 - 5n^2 + 4n = 10n + 1$.

Так как разность $d = 10n + 1$ зависит от $n$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

3) $a_n = -4,4n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = -4,4(n+1) = -4,4n - 4,4$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (-4,4n - 4,4) - (-4,4n) = -4,4n - 4,4 + 4,4n = -4,4$.

Так как разность $d = -4,4$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = -4,4 \cdot 1 = -4,4$.

Разность прогрессии $d = -4,4$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = -4,4$, разность прогрессии $d = -4,4$.

4) $a_n = 25 - 0,16n$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = 25 - 0,16(n+1) = 25 - 0,16n - 0,16$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = (25 - 0,16n - 0,16) - (25 - 0,16n) = 25 - 0,16n - 0,16 - 25 + 0,16n = -0,16$.

Так как разность $d = -0,16$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = 25 - 0,16 \cdot 1 = 24,84$.

Разность прогрессии $d = -0,16$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = 24,84$, разность прогрессии $d = -0,16$.

5) $a_n = \frac{n-3}{n+2}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{(n+1)-3}{(n+1)+2} = \frac{n-2}{n+3}$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{n-2}{n+3} - \frac{n-3}{n+2} = \frac{(n-2)(n+2) - (n-3)(n+3)}{(n+3)(n+2)} = \frac{(n^2 - 4) - (n^2 - 9)}{(n+3)(n+2)} = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$.

Так как разность $d = \frac{5}{(n+3)(n+2)}$ зависит от $n$, последовательность не является арифметической прогрессией.

Ответ: Нет, не является.

6) $a_n = \frac{4-3n}{6}$

Найдем $(n+1)$-й член последовательности:
$a_{n+1} = \frac{4-3(n+1)}{6} = \frac{4-3n-3}{6} = \frac{1-3n}{6}$.

Теперь найдем разность $d = a_{n+1} - a_n$:
$d = \frac{1-3n}{6} - \frac{4-3n}{6} = \frac{(1-3n) - (4-3n)}{6} = \frac{1-3n-4+3n}{6} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2}$.

Так как разность $d = -1/2$ является постоянным числом, последовательность является арифметической прогрессией.

Найдем первый член прогрессии, подставив $n=1$ в формулу:
$a_1 = \frac{4-3 \cdot 1}{6} = \frac{1}{6}$.

Разность прогрессии $d = -1/2$.

Ответ: Да, является. Первый член $a_1 = \frac{1}{6}$, разность прогрессии $d = -\frac{1}{2}$.

199. Даны две бесконечные арифметические прогрессии.

Если к каждому члену одной прогрессии прибавить соответствующий член другой прогрессии, то будет ли полученная последовательность арифметической прогрессией?

Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией. Чтобы это доказать, рассмотрим две произвольные арифметические прогрессии в общем виде.

Пусть первая арифметическая прогрессия — это последовательность $(a_n)$, где $a_1$ — её первый член, а $d_1$ — её разность. Формула для n-го члена этой прогрессии имеет вид:$a_n = a_1 + (n-1)d_1$.

Пусть вторая арифметическая прогрессия — это последовательность $(b_n)$, где $b_1$ — её первый член, а $d_2$ — её разность. Формула для n-го члена этой прогрессии:$b_n = b_1 + (n-1)d_2$.

Согласно условию, мы формируем новую последовательность $(c_n)$, каждый член которой является суммой соответствующих членов прогрессий $(a_n)$ и $(b_n)$:$c_n = a_n + b_n$.

Теперь подставим формулы для $a_n$ и $b_n$ в выражение для $c_n$ и преобразуем его:$c_n = (a_1 + (n-1)d_1) + (b_1 + (n-1)d_2)$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы привести выражение к стандартному виду формулы n-го члена арифметической прогрессии:$c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)d_1 + (n-1)d_2$$c_n = (a_1 + b_1) + (n-1)(d_1 + d_2)$.

Полученное выражение является формулой n-го члена некоторой последовательности $(c_n)$. Эта формула полностью соответствует определению арифметической прогрессии, где:

• Первый член $c_1 = a_1 + b_1$ (сумма первых членов исходных прогрессий).
• Разность $d_c = d_1 + d_2$ (сумма разностей исходных прогрессий).

Поскольку разность между любыми двумя последовательными членами новой последовательности постоянна и равна $d_c$, полученная последовательность является арифметической прогрессией.

Ответ: Да, полученная последовательность будет арифметической прогрессией.

200. При каком значении $m$ значения выражений $3m$, $m^2 + 2$ и $m + 4$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть выражения $3m$, $m^2 + 2$ и $m + 4$ являются последовательными членами арифметической прогрессии.

Согласно характеристическому свойству арифметической прогрессии, любой её член, начиная со второго, равен среднему арифметическому двух соседних членов. Для трех последовательных членов $a_1, a_2, a_3$ это свойство можно записать как $a_2 = \frac{a_1 + a_3}{2}$, или в виде $2a_2 = a_1 + a_3$.

Применив это свойство к данным выражениям, составим и решим уравнение:
$2(m^2 + 2) = 3m + (m + 4)$
$2m^2 + 4 = 4m + 4$
$2m^2 - 4m = 0$
$2m(m - 2) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $m_1 = 0$ и $m_2 = 2$. Теперь найдем члены прогрессии для каждого из найденных значений $m$.

При $m = 0$:
Подставим значение $m=0$ в исходные выражения:
Первый член: $3m = 3 \cdot 0 = 0$
Второй член: $m^2 + 2 = 0^2 + 2 = 2$
Третий член: $m + 4 = 0 + 4 = 4$
Получаем последовательность 0, 2, 4. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 2$.
Ответ: при $m=0$ члены прогрессии: 0, 2, 4.

При $m = 2$:
Подставим значение $m=2$ в исходные выражения:
Первый член: $3m = 3 \cdot 2 = 6$
Второй член: $m^2 + 2 = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$
Третий член: $m + 4 = 2 + 4 = 6$
Получаем последовательность 6, 6, 6. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 0$.
Ответ: при $m=2$ члены прогрессии: 6, 6, 6.

201. При каком значении $n$ значения выражений $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$ будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Пусть данные выражения $n^2$, $2n + 3$, $3n + 4$ и $n^2 + n + 7$ являются последовательными членами арифметической прогрессии $a_1, a_2, a_3, a_4$.

$a_1 = n^2$
$a_2 = 2n + 3$
$a_3 = 3n + 4$
$a_4 = n^2 + n + 7$

Для того чтобы последовательность чисел была арифметической прогрессией, разность между любым последующим и предыдущим ее членом должна быть постоянной. Обозначим эту разность (шаг прогрессии) как $d$. Таким образом, должны выполняться следующие равенства:

$a_2 - a_1 = a_3 - a_2 = a_4 - a_3 = d$

Это условие можно представить в виде системы из двух уравнений:

1) $a_2 - a_1 = a_3 - a_2$
2) $a_3 - a_2 = a_4 - a_3$

Решим первое уравнение, подставив в него соответствующие выражения:

$(2n + 3) - n^2 = (3n + 4) - (2n + 3)$
$2n + 3 - n^2 = 3n + 4 - 2n - 3$
$2n + 3 - n^2 = n + 1$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $an^2 + bn + c = 0$:

$n^2 - 2n + n - 3 + 1 = 0$
$n^2 - n - 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения. Можно использовать теорему Виета: произведение корней равно $-2$, а их сумма равна $1$. Корни: $n_1 = 2$ и $n_2 = -1$.

Теперь решим второе уравнение:

$(3n + 4) - (2n + 3) = (n^2 + n + 7) - (3n + 4)$
$3n + 4 - 2n - 3 = n^2 + n + 7 - 3n - 4$
$n + 1 = n^2 - 2n + 3$

Приведем уравнение к стандартному виду:

$n^2 - 2n - n + 3 - 1 = 0$
$n^2 - 3n + 2 = 0$

Найдем корни. По теореме Виета: произведение корней равно $2$, а их сумма равна $3$. Корни: $n_3 = 1$ и $n_4 = 2$.

Значение $n$ должно удовлетворять обоим уравнениям одновременно. Сравнивая полученные корни ($n_1=2, n_2=-1$ и $n_3=1, n_4=2$), мы видим, что единственным общим решением является $n=2$.

Теперь, зная значение $n$, найдем члены арифметической прогрессии, подставив $n = 2$ в исходные выражения:

$a_1 = n^2 = 2^2 = 4$
$a_2 = 2n + 3 = 2 \cdot 2 + 3 = 4 + 3 = 7$
$a_3 = 3n + 4 = 3 \cdot 2 + 4 = 6 + 4 = 10$
$a_4 = n^2 + n + 7 = 2^2 + 2 + 7 = 4 + 2 + 7 = 13$

Таким образом, мы получили последовательность: 4, 7, 10, 13. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = 3$.

Ответ: Значение $n = 2$. Члены прогрессии: 4, 7, 10, 13.

202. Найдите сумму двадцати четырёх первых членов арифметической прогрессии $(a_n)$, если $a_1 = -4,2$, а разность прогрессии $d = 0,6$.

Для нахождения суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии используется формула:

$S_n = \frac{2a_1 + d(n-1)}{2} \cdot n$

где $S_n$ — сумма первых $n$ членов, $a_1$ — первый член прогрессии, $d$ — разность прогрессии, $n$ — количество членов.

По условию задачи нам даны:

Первый член прогрессии $a_1 = -4,2$.

Разность прогрессии $d = 0,6$.

Количество членов $n = 24$.

Подставим эти значения в формулу для нахождения суммы двадцати четырёх первых членов ($S_{24}$):

$S_{24} = \frac{2 \cdot (-4,2) + 0,6 \cdot (24-1)}{2} \cdot 24$

Выполним вычисления по шагам:

$S_{24} = \frac{-8,4 + 0,6 \cdot 23}{2} \cdot 24$

$S_{24} = \frac{-8,4 + 13,8}{2} \cdot 24$

$S_{24} = \frac{5,4}{2} \cdot 24$

Сократим 2 и 24, получим:

$S_{24} = 5,4 \cdot 12$

$S_{24} = 64,8$

Ответ: $64,8$