Страница 41 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

13. Известно, что $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Оцените значение выражения:

1) $4\sqrt{6}$;

2) $-5\sqrt{6}$;

3) $7 - \sqrt{6}$;

4) $\frac{7 - \sqrt{6}}{3}$.

1) $4\sqrt{6}$;

Для того чтобы оценить значение выражения $4\sqrt{6}$, воспользуемся исходным неравенством $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Умножим все части этого двойного неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$2,4 \cdot 4 < \sqrt{6} \cdot 4 < 2,5 \cdot 4$

Выполним вычисления:

$9,6 < 4\sqrt{6} < 10$

Ответ: $9,6 < 4\sqrt{6} < 10$.

2) $-5\sqrt{6}$;

Для оценки значения выражения $-5\sqrt{6}$ снова используем неравенство $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$. Умножим все части неравенства на -5. Так как -5 — отрицательное число, знаки неравенства необходимо изменить на противоположные.

$2,4 \cdot (-5) > \sqrt{6} \cdot (-5) > 2,5 \cdot (-5)$

Выполним вычисления:

$-12 > -5\sqrt{6} > -12,5$

Для удобства восприятия запишем неравенство в стандартном виде, от меньшего числа к большему:

$-12,5 < -5\sqrt{6} < -12$

Ответ: $-12,5 < -5\sqrt{6} < -12$.

3) $7 - \sqrt{6}$;

Чтобы оценить значение выражения $7 - \sqrt{6}$, начнем с оценки выражения $-\sqrt{6}$. Для этого умножим все части исходного неравенства $2,4 < \sqrt{6} < 2,5$ на -1. Знаки неравенства изменятся на противоположные.

$-2,4 > -\sqrt{6} > -2,5$

Запишем в стандартном виде:

$-2,5 < -\sqrt{6} < -2,4$

Теперь прибавим число 7 ко всем частям полученного неравенства:

$7 - 2,5 < 7 - \sqrt{6} < 7 - 2,4$

Выполним вычисления:

$4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$

Ответ: $4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$.

4) $\frac{7 - \sqrt{6}}{3}$.

Для оценки этого выражения воспользуемся результатом, полученным в предыдущем пункте: $4,5 < 7 - \sqrt{6} < 4,6$.

Теперь разделим все части этого неравенства на 3. Так как 3 — положительное число, знаки неравенства сохраняются.

$\frac{4,5}{3} < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{4,6}{3}$

Выполним вычисления:

$1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{46}{30}$

Правую часть можно представить в виде несократимой дроби, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{46}{30} = \frac{23}{15}$

Окончательный результат:

$1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{23}{15}$

Ответ: $1,5 < \frac{7 - \sqrt{6}}{3} < \frac{23}{15}$.

14. Дано: $2 < x < 7$. Оцените значение выражения $\frac{1}{x}$.

По условию дано двойное неравенство $2 < x < 7$. Нам нужно оценить значение выражения $\frac{1}{x}$.

Все части данного неравенства (числа 2, 7 и переменная $x$) положительны.

Функция $y = \frac{1}{x}$ является убывающей на всей области определения. Это означает, что для положительных чисел, чем больше значение аргумента $x$, тем меньше значение функции $\frac{1}{x}$. Следовательно, если мы применяем операцию взятия обратной величины ко всем частям неравенства, знаки неравенства должны измениться на противоположные.

Возьмем исходное неравенство:

$2 < x < 7$

Применим операцию взятия обратной величины к каждой части, изменив знаки неравенства с "<" на ">":

$\frac{1}{2} > \frac{1}{x} > \frac{1}{7}$

Для удобства, запишем это неравенство в стандартном виде (от меньшего к большему):

$\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{7} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

15. Дано: $3 < x < 8$ и $2 < y < 7$. Оцените значение выражения:

1) $x+y;$

2) $x-y;$

3) $xy;$

4) $\frac{x}{y};$

5) $2x+5y;$

6) $3x-4y;$

7) $\frac{6y}{5x};$

8) $\frac{0,6x-0,1y}{0,8x-0,3y}.$

1) x + y;
Чтобы оценить сумму $x+y$, сложим почленно данные неравенства:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ + \\ 2 < y < 7\end{array}$
--------------------
$3+2 < x+y < 8+7$
$5 < x+y < 15$
Ответ: $5 < x+y < 15$.

2) x – y;
Чтобы оценить разность $x-y$, представим ее в виде суммы $x+(-y)$. Сначала найдем границы для $-y$.
Известно, что $2 < y < 7$. Умножив все части неравенства на $-1$, мы сменим знаки неравенства на противоположные:
$-7 < -y < -2$.
Теперь сложим неравенства для $x$ и $-y$:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ + \\ -7 < -y < -2\end{array}$
--------------------
$3+(-7) < x+(-y) < 8+(-2)$
$-4 < x-y < 6$
Ответ: $-4 < x-y < 6$.

3) xy;
Поскольку все части исходных неравенств положительны, мы можем их почленно перемножить:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ \times \\ 2 < y < 7\end{array}$
--------------------
$3 \cdot 2 < xy < 8 \cdot 7$
$6 < xy < 56$
Ответ: $6 < xy < 56$.

4) x/y;
Чтобы оценить частное $x/y$, представим его в виде произведения $x \cdot (1/y)$. Сначала найдем границы для $1/y$.
Известно, что $2 < y < 7$. Так как все части неравенства положительны, то при взятии обратной величины знаки неравенства меняются:
$1/7 < 1/y < 1/2$.
Теперь перемножим неравенства для $x$ и $1/y$:
$\begin{array}{c}3 < x < 8 \\ \times \\ 1/7 < 1/y < 1/2\end{array}$
--------------------
$3 \cdot (1/7) < x \cdot (1/y) < 8 \cdot (1/2)$
$3/7 < x/y < 4$
Ответ: $3/7 < x/y < 4$.

5) 2x + 5y;
Сначала найдем границы для $2x$ и $5y$.
Умножим неравенство $3 < x < 8$ на 2: $6 < 2x < 16$.
Умножим неравенство $2 < y < 7$ на 5: $10 < 5y < 35$.
Теперь сложим полученные неравенства:
$\begin{array}{c}6 < 2x < 16 \\ + \\ 10 < 5y < 35\end{array}$
--------------------
$6+10 < 2x+5y < 16+35$
$16 < 2x+5y < 51$
Ответ: $16 < 2x+5y < 51$.

6) 3x – 4y;
Сначала найдем границы для $3x$ и $-4y$.
Умножим неравенство $3 < x < 8$ на 3: $9 < 3x < 24$.
Умножим неравенство $2 < y < 7$ на $-4$ (при умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются):
$2 \cdot (-4) > -4y > 7 \cdot (-4)$
$-8 > -4y > -28$, или $-28 < -4y < -8$.
Теперь сложим неравенства для $3x$ и $-4y$:
$\begin{array}{c}9 < 3x < 24 \\ + \\ -28 < -4y < -8\end{array}$
--------------------
$9+(-28) < 3x-4y < 24+(-8)$
$-19 < 3x-4y < 16$
Ответ: $-19 < 3x-4y < 16$.

7) 6y/5x;
Оценим значение выражения $\frac{6}{5} \cdot \frac{y}{x}$.
Сначала найдем границы для дроби $y/x = y \cdot (1/x)$.
Известно, что $2 < y < 7$.
Из $3 < x < 8$ следует, что $1/8 < 1/x < 1/3$.
Перемножим неравенства для $y$ и $1/x$:
$2 \cdot (1/8) < y/x < 7 \cdot (1/3)$
$1/4 < y/x < 7/3$.
Теперь умножим полученное неравенство на положительное число $6/5$:
$\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{4} < \frac{6y}{5x} < \frac{6}{5} \cdot \frac{7}{3}$
$\frac{6}{20} < \frac{6y}{5x} < \frac{42}{15}$
Сократив дроби, получаем:
$\frac{3}{10} < \frac{6y}{5x} < \frac{14}{5}$ (или $0,3 < \frac{6y}{5x} < 2,8$)
Ответ: $3/10 < 6y/5x < 14/5$.

8) (0,6x – 0,1y)/(0,8x – 0,3y);
Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на 10:
$\frac{0,6x - 0,1y}{0,8x - 0,3y} = \frac{10(0,6x - 0,1y)}{10(0,8x - 0,3y)} = \frac{6x - y}{8x - 3y}$
Оценим числитель $N = 6x-y$ и знаменатель $D = 8x-3y$ по отдельности.
Оценка числителя $N = 6x-y$:
$3 < x < 8 \implies 18 < 6x < 48$
$2 < y < 7 \implies -7 < -y < -2$
Складывая, получаем: $18 - 7 < 6x - y < 48 - 2 \implies 11 < N < 46$.
Оценка знаменателя $D = 8x-3y$:
$3 < x < 8 \implies 24 < 8x < 64$
$2 < y < 7 \implies 6 < 3y < 21 \implies -21 < -3y < -6$
Складывая, получаем: $24 - 21 < 8x - 3y < 64 - 6 \implies 3 < D < 58$.
Поскольку и числитель, и знаменатель всегда положительны, то для оценки дроби $N/D$ нужно наименьшее значение числителя разделить на наибольшее значение знаменателя (для нижней границы) и наибольшее значение числителя на наименьшее значение знаменателя (для верхней границы).
$\frac{N_{min}}{D_{max}} < \frac{N}{D} < \frac{N_{max}}{D_{min}}$
$\frac{11}{58} < \frac{6x - y}{8x - 3y} < \frac{46}{3}$
Ответ: $11/58 < (0,6x - 0,1y)/(0,8x - 0,3y) < 46/3$.

16. Оцените длину средней линии трапеции с основаниями $x$ см и $y$ см, если $9 < x < 13$, $8 < y < 15$.

Длина средней линии трапеции, обозначим её $m$, вычисляется как полусумма её оснований $x$ и $y$. Формула имеет вид:

$m = \frac{x + y}{2}$

В условии даны интервалы для длин оснований:

$9 < x < 13$

$8 < y < 15$

Чтобы найти интервал для длины средней линии, сначала найдем интервал для суммы оснований $x + y$. Для этого сложим почленно левые и правые части данных неравенств:

$9 + 8 < x + y < 13 + 15$

Выполнив сложение, получаем:

$17 < x + y < 28$

Теперь, чтобы найти оценку для средней линии $m$, разделим все части полученного двойного неравенства на 2, согласно формуле:

$\frac{17}{2} < \frac{x + y}{2} < \frac{28}{2}$

Вычисляем значения:

$8,5 < m < 14$

Таким образом, длина средней линии трапеции находится в интервале от 8,5 см до 14 см, не включая границы.

Ответ: $8,5 < m < 14$.

17. Оцените периметр и площадь квадрата со стороной $x$ см,если $12 < x < 20$.

Оценка периметра
Периметр квадрата $P$ со стороной $x$ вычисляется по формуле $P = 4x$. По условию задачи, длина стороны квадрата $x$ находится в интервале:
$12 < x < 20$
Чтобы найти диапазон значений для периметра $P$, необходимо умножить все части этого двойного неравенства на 4. Так как 4 — положительное число, знаки неравенства сохраняются:
$12 \cdot 4 < x \cdot 4 < 20 \cdot 4$
$48 < 4x < 80$
Подставляя $P = 4x$, получаем неравенство для периметра:
$48 < P < 80$
Таким образом, периметр квадрата находится в пределах от 48 см до 80 см (не включая граничные значения).
Ответ: $48 \text{ см} < P < 80 \text{ см}$.

Оценка площади
Площадь квадрата $S$ со стороной $x$ вычисляется по формуле $S = x^2$. Используем исходное неравенство для стороны $x$:
$12 < x < 20$
Поскольку длина стороны $x$ — положительная величина, мы можем возвести все части неравенства в квадрат, при этом знаки неравенства сохранятся:
$12^2 < x^2 < 20^2$
$144 < x^2 < 400$
Подставляя $S = x^2$, получаем неравенство для площади:
$144 < S < 400$
Следовательно, площадь квадрата находится в пределах от 144 см² до 400 см² (не включая граничные значения).
Ответ: $144 \text{ см}^2 < S < 400 \text{ см}^2$.

18. Какие из чисел $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$ являются решениями неравенства:

1) $x \ge \frac{1}{2}$;

2) $x < 12$;

3) $3x > x + 5$;

4) $x^2 - 36 < 0$;

5) $\sqrt{x - 1} \ge 2$;

6) $\frac{1}{x} \ge 1$?

Для того чтобы определить, какие из чисел $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$ являются решениями неравенств, необходимо подставить каждое число вместо переменной $x$ в каждое неравенство и проверить, выполняется ли оно.

1) $x \geq \frac{1}{2}$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $-7 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $5 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $-1 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} \geq \frac{1}{2}$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0 \geq \frac{1}{2}$. Неравенство ложно.

Ответ: $5; \frac{1}{2}$.

2) $x < 12$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $-7 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = 5$: $5 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $-1 < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{2} < 12$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0 < 12$. Неравенство истинно.

Ответ: $-7; 5; -1; \frac{1}{2}; 0$.

3) $3x > x + 5$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $3(-7) > -7 + 5 \Rightarrow -21 > -2$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $3(5) > 5 + 5 \Rightarrow 15 > 10$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $3(-1) > -1 + 5 \Rightarrow -3 > 4$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $3(\frac{1}{2}) > \frac{1}{2} + 5 \Rightarrow \frac{3}{2} > \frac{11}{2}$. Неравенство ложно.

Для $x = 0$: $3(0) > 0 + 5 \Rightarrow 0 > 5$. Неравенство ложно.

Ответ: $5$.

4) $x^2 - 36 < 0$

Подставим поочередно каждое число в неравенство:

Для $x = -7$: $(-7)^2 - 36 < 0 \Rightarrow 49 - 36 < 0 \Rightarrow 13 < 0$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $5^2 - 36 < 0 \Rightarrow 25 - 36 < 0 \Rightarrow -11 < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = -1$: $(-1)^2 - 36 < 0 \Rightarrow 1 - 36 < 0 \Rightarrow -35 < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $(\frac{1}{2})^2 - 36 < 0 \Rightarrow \frac{1}{4} - 36 < 0 \Rightarrow -35\frac{3}{4} < 0$. Неравенство истинно.

Для $x = 0$: $0^2 - 36 < 0 \Rightarrow -36 < 0$. Неравенство истинно.

Ответ: $5; -1; \frac{1}{2}; 0$.

5) $\sqrt{x-1} \geq 2$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x-1 \geq 0$, то есть $x \geq 1$. Числа $-7, -1, \frac{1}{2}, 0$ не входят в ОДЗ, поэтому они не могут быть решениями. Проверим единственное подходящее число $x=5$.

Для $x = 5$: $\sqrt{5-1} \geq 2 \Rightarrow \sqrt{4} \geq 2 \Rightarrow 2 \geq 2$. Неравенство истинно.

Ответ: $5$.

6) $\frac{1}{x} \geq 1$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этого неравенства определяется условием $x \neq 0$. Значит, $x=0$ не является решением. Проверим остальные числа:

Для $x = -7$: $\frac{1}{-7} \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = 5$: $\frac{1}{5} \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = -1$: $\frac{1}{-1} \geq 1 \Rightarrow -1 \geq 1$. Неравенство ложно.

Для $x = \frac{1}{2}$: $\frac{1}{1/2} \geq 1 \Rightarrow 2 \geq 1$. Неравенство истинно.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

19. Каково множество решений неравенства:

1) $(x-2)^2 \ge 0;$

2) $(x-2)^2 \le 0;$

3) $(x-2)^2 > 0;$

4) $(x-2)^2 < 0;$

5) $0x < -3;$

6) $0x \ge -3;$

7) $0x < 3;$

8) $0x \ge 3?$

1) $(x - 2)^2 \ge 0;$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть больше или равен нулю. Выражение $(x - 2)$ является действительным числом при любом значении $x$. Следовательно, его квадрат $(x - 2)^2$ всегда будет больше или равен нулю. Таким образом, неравенство выполняется для любого действительного числа $x$.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) $(x - 2)^2 \le 0;$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Поэтому неравенство $(x - 2)^2 < 0$ не имеет решений. Единственная возможность, при которой данное неравенство выполняется, — это равенство $(x - 2)^2 = 0$. Это уравнение имеет единственный корень, когда $x - 2 = 0$, то есть $x = 2$.
Ответ: $x = 2$.

3) $(x - 2)^2 > 0;$

Квадрат любого действительного числа больше нуля, за исключением случая, когда само число равно нулю. Выражение $(x - 2)^2$ равно нулю при $x = 2$. Во всех остальных случаях $(x - 2)^2$ будет строго больше нуля. Следовательно, решение неравенства — это все действительные числа, кроме $x = 2$.
Ответ: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

4) $(x - 2)^2 < 0;$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным. Таким образом, не существует такого значения $x$, при котором выражение $(x - 2)^2$ было бы меньше нуля. Множество решений пусто.
Ответ: нет решений.

5) $0x < -3;$

При умножении любого числа $x$ на 0, результат всегда равен 0. Неравенство принимает вид $0 < -3$. Это утверждение является ложным. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых это неравенство было бы верным.
Ответ: нет решений.

6) $0x \ge -3;$

При умножении любого числа $x$ на 0, результат равен 0. Неравенство принимает вид $0 \ge -3$. Это утверждение является истинным, так как 0 больше -3. Поскольку это верно для любого значения $x$, решением является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

7) $0x < 3;$

При умножении любого числа $x$ на 0, результат равен 0. Неравенство принимает вид $0 < 3$. Это утверждение является истинным. Поскольку это верно для любого значения $x$, решением является множество всех действительных чисел.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

8) $0x \ge 3?$

При умножении любого числа $x$ на 0, результат равен 0. Неравенство принимает вид $0 \ge 3$. Это утверждение является ложным. Следовательно, не существует таких значений $x$, при которых это неравенство было бы верным.
Ответ: нет решений.

20. Решите неравенство:

1) $\frac{1}{(x-2)^2} + 3 > 0;$

2) $\frac{x-2}{x-2} > 0;$

3) $\frac{x-2}{x-2} \ge 0;$

4) $\frac{x-2}{x-2} > \frac{1}{4};$

5) $\frac{x-2}{x-2} \le 1;$

6) $\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2 \ge 0;$

7) $\left(\frac{x-3}{x-4}\right)^2 > 0;$

8) $x + \frac{1}{x-3} > \frac{1}{x-3} + 2.$

1) Исходное неравенство: $\frac{1}{(x - 2)^2} + 3 > 0$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $(x - 2)^2 \neq 0$, что равносильно $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Теперь проанализируем левую часть неравенства. Выражение $(x - 2)^2$ является квадратом действительного числа. Для любого $x$ из ОДЗ (то есть при $x \neq 2$) это выражение будет строго положительным: $(x - 2)^2 > 0$.

Так как знаменатель $(x - 2)^2$ всегда положителен, то и дробь $\frac{1}{(x - 2)^2}$ также всегда будет строго положительной.

Левая часть неравенства представляет собой сумму двух положительных слагаемых: $\frac{1}{(x - 2)^2}$ (которое всегда больше нуля) и $3$. Сумма двух положительных чисел всегда положительна.

Следовательно, данное неравенство выполняется для всех значений $x$, для которых оно определено.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

2) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} > 0$.

ОДЗ данного выражения: знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x - 2 \neq 0$, откуда $x \neq 2$.

Для всех значений $x$ из ОДЗ (при $x \neq 2$) числитель и знаменатель дроби равны и не равны нулю. Поэтому дробь можно сократить, и она будет равна 1: $\frac{x - 2}{x - 2} = 1$.

Таким образом, исходное неравенство сводится к верному числовому неравенству $1 > 0$.

Это означает, что исходное неравенство верно для всех допустимых значений $x$.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

3) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} \ge 0$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Для всех $x \neq 2$ выражение в левой части равно 1. Неравенство принимает вид $1 \ge 0$.

Это неравенство является верным. Следовательно, решение исходного неравенства совпадает с его областью допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

4) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} > \frac{1}{4}$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

При всех $x \neq 2$ левая часть неравенства равна 1. Подставляя это значение, получаем: $1 > \frac{1}{4}$.

Это верное числовое неравенство. Значит, исходное неравенство выполняется для всех $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

5) Исходное неравенство: $\frac{x - 2}{x - 2} \le 1$.

ОДЗ: $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

При $x \neq 2$ левая часть неравенства равна 1. Неравенство принимает вид $1 \le 1$.

Это неравенство является верным (так как $1 = 1$). Следовательно, решение - все значения $x$ из ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 2) \cup (2, \infty)$

6) Исходное неравенство: $(\frac{x - 3}{x - 4})^2 \ge 0$.

ОДЗ: знаменатель дроби не может быть равен нулю, то есть $x - 4 \neq 0$, откуда $x \neq 4$.

Левая часть неравенства представляет собой квадрат некоторого действительного числа. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен (то есть больше или равен нулю).

Поэтому неравенство выполняется для всех значений $x$, при которых выражение в левой части определено.

Решением является вся область допустимых значений.

Ответ: $x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty)$

7) Исходное неравенство: $(\frac{x - 3}{x - 4})^2 > 0$.

ОДЗ: $x - 4 \neq 0 \implies x \neq 4$.

Квадрат выражения является строго положительным тогда и только тогда, когда само выражение определено и не равно нулю.

Таким образом, мы должны потребовать, чтобы $\frac{x - 3}{x - 4} \neq 0$.

Дробь равна нулю, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Приравниваем числитель к нулю: $x - 3 = 0 \implies x = 3$.

Следовательно, чтобы неравенство выполнялось, мы должны исключить из ОДЗ значение $x = 3$.

Объединяя условия $x \neq 4$ и $x \neq 3$, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, 4) \cup (4, \infty)$

8) Исходное неравенство: $x + \frac{1}{x - 3} > \frac{1}{x - 3} + 2$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

В левой и правой частях неравенства есть одинаковое слагаемое $\frac{1}{x - 3}$. Мы можем вычесть его из обеих частей неравенства, так как это равносильное преобразование для всех $x$ из ОДЗ.

$x + \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} > \frac{1}{x - 3} - \frac{1}{x - 3} + 2$

После упрощения получаем простое линейное неравенство: $x > 2$.

Теперь необходимо учесть ОДЗ. Решение должно удовлетворять системе условий: $\begin{cases} x > 2 \\ x \neq 3 \end{cases}$

Это означает, что решением являются все числа, которые больше 2, за исключением числа 3.

Ответ: $x \in (2, 3) \cup (3, \infty)$