Страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

26. Найдите наименьшее целое решение неравенства:

1) $x - 4 < 3x + 9;$

2) $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \le 20;$

3) $(2x - 3)^2 + (3 - 4x)(x + 5) \ge 82;$

4) $(x - 3)(x + 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1).$

1) $x - 4 < 3x + 9$

Для решения неравенства перенесем слагаемые с переменной $x$ в одну часть, а числовые слагаемые — в другую.
$x - 3x < 9 + 4$
Приведем подобные слагаемые в обеих частях:
$-2x < 13$
Разделим обе части неравенства на $-2$. Важно помнить, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x > \frac{13}{-2}$
$x > -6.5$
Мы ищем наименьшее целое число, которое больше $-6.5$. Первое такое целое число — это $-6$.

Ответ: $-6$

2) $18x^2 - (3x - 2)(6x + 5) \leq 20$

Сначала раскроем скобки, перемножив многочлены $(3x - 2)$ и $(6x + 5)$:
$(3x - 2)(6x + 5) = 3x \cdot 6x + 3x \cdot 5 - 2 \cdot 6x - 2 \cdot 5 = 18x^2 + 15x - 12x - 10 = 18x^2 + 3x - 10$
Теперь подставим это выражение в исходное неравенство:
$18x^2 - (18x^2 + 3x - 10) \leq 20$
Раскроем скобки, поменяв знаки слагаемых внутри них:
$18x^2 - 18x^2 - 3x + 10 \leq 20$
Приведем подобные слагаемые:
$-3x + 10 \leq 20$
Перенесем $10$ в правую часть:
$-3x \leq 20 - 10$
$-3x \leq 10$
Разделим обе части на $-3$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \geq \frac{10}{-3}$
$x \geq -3\frac{1}{3}$
Наименьшее целое число, которое больше или равно $-3\frac{1}{3}$, — это $-3$.

Ответ: $-3$

3) $(2x - 3)^2 + (3 - 4x)(x + 5) \geq 82$

Раскроем скобки в левой части неравенства. Сначала возведем в квадрат по формуле $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(2x - 3)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 - 12x + 9$
Затем перемножим два многочлена:
$(3 - 4x)(x + 5) = 3x + 15 - 4x^2 - 20x = -4x^2 - 17x + 15$
Подставим полученные выражения в неравенство:
$(4x^2 - 12x + 9) + (-4x^2 - 17x + 15) \geq 82$
Приведем подобные слагаемые:
$(4x^2 - 4x^2) + (-12x - 17x) + (9 + 15) \geq 82$
$-29x + 24 \geq 82$
Перенесем $24$ в правую часть:
$-29x \geq 82 - 24$
$-29x \geq 58$
Разделим обе части на $-29$, изменив знак неравенства на противоположный:
$x \leq \frac{58}{-29}$
$x \leq -2$
Решением неравенства являются все числа, меньшие или равные $-2$. Множество целых решений: $\{..., -5, -4, -3, -2\}$. Это множество не ограничено снизу, поэтому наименьшего целого решения в нем нет.

Ответ: наименьшего целого решения не существует.

4) $(x - 3)(x + 3) > 2(x - 2)^2 - x(x + 1)$

Упростим обе части неравенства, раскрыв скобки.
В левой части используем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:
$(x - 3)(x + 3) = x^2 - 9$
В правой части раскроем квадрат разности и распределим множители:
$2(x - 2)^2 - x(x + 1) = 2(x^2 - 4x + 4) - (x^2 + x) = 2x^2 - 8x + 8 - x^2 - x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$(2x^2 - x^2) + (-8x - x) + 8 = x^2 - 9x + 8$
Неравенство принимает вид:
$x^2 - 9 > x^2 - 9x + 8$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$x^2 - 9 - x^2 + 9x - 8 > 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + 9x + (-9 - 8) > 0$
$9x - 17 > 0$
Решим полученное линейное неравенство:
$9x > 17$
$x > \frac{17}{9}$
$x > 1\frac{8}{9}$
Наименьшее целое число, которое больше $1\frac{8}{9}$, — это $2$.

Ответ: $2$

27. Решите неравенство:

1) $5x + 7 > 3(2x - 5) - x$;

2) $4.5(2 - x) \geq 5.4 - 3(1.5x - 1.2)$;

3) $8x + (x - 3)(x + 3) \geq (x + 4)^2$;

4) $3x(x - 3) - (3x + 1)(x + 4) > 2 - 2(11x + 3)$.

1) Решим неравенство $5x + 7 > 3(2x - 5) - x$.
Сначала раскроем скобки в правой части неравенства:
$5x + 7 > 6x - 15 - x$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$5x + 7 > 5x - 15$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$5x - 5x > -15 - 7$
$0 \cdot x > -22$
$0 > -22$
Полученное неравенство $0 > -22$ является верным и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

2) Решим неравенство $4,5(2 - x) \ge 5,4 - 3(1,5x - 1,2)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$4,5 \cdot 2 - 4,5 \cdot x \ge 5,4 - 3 \cdot 1,5x - 3 \cdot (-1,2)$
$9 - 4,5x \ge 5,4 - 4,5x + 3,6$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$9 - 4,5x \ge (5,4 + 3,6) - 4,5x$
$9 - 4,5x \ge 9 - 4,5x$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-4,5x + 4,5x \ge 9 - 9$
$0 \cdot x \ge 0$
$0 \ge 0$
Полученное неравенство $0 \ge 0$ является верным и не зависит от значения переменной $x$. Следовательно, решением исходного неравенства является любое действительное число.
Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

3) Решим неравенство $8x + (x - 3)(x + 3) \ge (x + 4)^2$.
Используем формулы сокращенного умножения: разность квадратов $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$ и квадрат суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
$8x + (x^2 - 3^2) \ge x^2 + 2 \cdot x \cdot 4 + 4^2$
$8x + x^2 - 9 \ge x^2 + 8x + 16$
Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства:
$8x + x^2 - 9 - x^2 - 8x - 16 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$(x^2 - x^2) + (8x - 8x) + (-9 - 16) \ge 0$
$-25 \ge 0$
Полученное неравенство $-25 \ge 0$ является ложным. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

4) Решим неравенство $3x(x - 3) - (3x + 1)(x + 4) > 2 - 2(11x + 3)$.
Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$(3x^2 - 9x) - (3x \cdot x + 3x \cdot 4 + 1 \cdot x + 1 \cdot 4) > 2 - (22x + 6)$
$3x^2 - 9x - (3x^2 + 12x + x + 4) > 2 - 22x - 6$
$3x^2 - 9x - (3x^2 + 13x + 4) > -22x - 4$
$3x^2 - 9x - 3x^2 - 13x - 4 > -22x - 4$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$(3x^2 - 3x^2) + (-9x - 13x) - 4 > -22x - 4$
$-22x - 4 > -22x - 4$
Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:
$-22x + 22x > -4 + 4$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$
Полученное неравенство $0 > 0$ является ложным (так как 0 равно 0, а не больше). Следовательно, исходное неравенство не имеет решений.
Ответ: решений нет.

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3x - 5};$

2) $\sqrt{4 - 13x};$

3) $\frac{2}{\sqrt{7x + 35}};$

4) $\sqrt{x + 9} + \frac{1}{x - 4};$

5) $\sqrt{9 - 15x} + \frac{3}{x^2 - 1};$

6) $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}} + \frac{1}{|x| - 2}?$

1) Выражение $\sqrt{3x - 5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$3x - 5 \ge 0$
$3x \ge 5$
$x \ge \frac{5}{3}$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $[\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{4 - 13x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$4 - 13x \ge 0$
$-13x \ge -4$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-4}{-13}$
$x \le \frac{4}{13}$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $(-\infty; \frac{4}{13}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{13}]$.

3) Выражение $\frac{2}{\sqrt{7x + 35}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах).
$7x + 35 > 0$
$7x > -35$
$x > -5$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $(-5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{x + 9} + \frac{1}{x - 4}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x + 9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x + 9 \ge 0 \implies x \ge -9$.
2. Для слагаемого $\frac{1}{x - 4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 4 \ne 0 \implies x \ne 4$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-9$ и не равен $4$.
Это соответствует объединению промежутков $[-9; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-9; 4) \cup (4; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{9 - 15x} + \frac{3}{x^2 - 1}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{9 - 15x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$9 - 15x \ge 0 \implies -15x \ge -9 \implies x \le \frac{9}{15} \implies x \le \frac{3}{5}$.
2. Для слагаемого $\frac{3}{x^2 - 1}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 1 \ne 0 \implies x^2 \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Объединяем условия: $x \le \frac{3}{5}$, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Условие $x \le \frac{3}{5}$ автоматически исключает значение $x = 1$, так как $\frac{3}{5} < 1$. Остается исключить $x = -1$.
Таким образом, $x$ принадлежит промежуткам $(-\infty; -1)$ и $(-1; \frac{3}{5}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{3}{5}]$.

6) Выражение $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}} + \frac{1}{|x| - 2}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$2x + 18 > 0 \implies 2x > -18 \implies x > -9$.
2. Для слагаемого $\frac{1}{|x| - 2}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x| - 2 \ne 0 \implies |x| \ne 2 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Объединяем условия: $x > -9$, $x \ne -2$ и $x \ne 2$.
Это соответствует объединению промежутков $(-9; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-9; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

29. При каких значениях $a$ можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $3x^2 + 5x + 2a;$

2) $ax^2 - 3x + 3?$

Квадратный трёхчлен вида $Ax^2 + Bx + C$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант $D = B^2 - 4AC$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

1) $3x^2 + 5x + 2a$

В данном трёхчлене коэффициенты равны $A=3$, $B=5$, $C=2a$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2a) = 25 - 24a$.

Для того чтобы трёхчлен можно было разложить на линейные множители, необходимо выполнение условия $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$25 - 24a \ge 0$

$25 \ge 24a$

$a \le \frac{25}{24}$

Ответ: $a \le \frac{25}{24}$.

2) $ax^2 - 3x + 3$

Данное выражение является квадратным трёхчленом только при условии, что старший коэффициент не равен нулю, то есть $a \ne 0$.

При $a \ne 0$ коэффициенты равны $A=a$, $B=-3$, $C=3$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 9 - 12a$.

Условие разложения на линейные множители — $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$9 - 12a \ge 0$

$9 \ge 12a$

$a \le \frac{9}{12}$

$a \le \frac{3}{4}$

Объединяя это условие с требованием $a \ne 0$, получаем, что трёхчлен можно разложить на линейные множители при $a \le \frac{3}{4}$ и $a \ne 0$.

Ответ: $a \le \frac{3}{4}, a \ne 0$ (или в виде объединения промежутков: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{3}{4}]$).

30. В некоторой школе количество мальчиков относится к количеству девочек как $5:4$. Какое наименьшее количество мальчиков может быть, если всего в школе не менее 600 учащихся?

Пусть количество мальчиков в школе равно $М$, а количество девочек — $Д$.

По условию, отношение количества мальчиков к количеству девочек составляет 5 к 4. Это можно записать в виде пропорции:
$\frac{М}{Д} = \frac{5}{4}$

Из этой пропорции следует, что количество мальчиков можно выразить как $М = 5k$, а количество девочек как $Д = 4k$, где $k$ — это некоторый положительный целый коэффициент, так как количество учеников может быть только целым числом.

Общее количество учащихся в школе ($У$) равно сумме количества мальчиков и девочек:
$У = М + Д = 5k + 4k = 9k$

Это означает, что общее число учащихся в школе должно быть кратно 9.

Также по условию в школе не менее 600 учащихся, то есть $У \ge 600$.
Заменим $У$ на $9k$:
$9k \ge 600$

Теперь найдем наименьшее целое значение $k$, удовлетворяющее этому неравенству:
$k \ge \frac{600}{9}$
$k \ge \frac{200}{3}$
$k \ge 66 \frac{2}{3}$

Поскольку $k$ должно быть целым числом, наименьшее целое значение $k$, которое удовлетворяет этому условию, это $k = 67$.

Чтобы найти наименьшее возможное количество мальчиков, нужно подставить это наименьшее значение $k$ в формулу для количества мальчиков:
$М = 5k = 5 \times 67 = 335$

При этом общее число учащихся будет $9 \times 67 = 603$, что удовлетворяет условию "не менее 600".

Ответ: 335.

31. Стороны треугольника равны 11 см, 15 см и $x$ см, где $x$ — натуральное число. Какое наименьшее значение может принимать $x$?

Для того чтобы треугольник с заданными сторонами мог существовать, должно выполняться неравенство треугольника. Согласно этому правилу, сумма длин любых двух сторон треугольника должна быть больше длины третьей стороны.

Пусть стороны треугольника равны $a = 11$ см, $b = 15$ см и $c = x$ см. Запишем три неравенства, которые должны выполняться одновременно:

1. Сумма сторон 11 и 15 должна быть больше стороны $x$:

$11 + 15 > x$

$26 > x$

2. Сумма сторон 11 и $x$ должна быть больше стороны 15:

$11 + x > 15$

$x > 15 - 11$

$x > 4$

3. Сумма сторон 15 и $x$ должна быть больше стороны 11:

$15 + x > 11$

$x > 11 - 15$

$x > -4$

Так как длина стороны треугольника ($x$) должна быть положительным числом, третье неравенство ($x > -4$) всегда выполняется.

Объединив первые два неравенства, получаем диапазон возможных значений для $x$:

$4 < x < 26$

По условию задачи, $x$ — натуральное число. Нам нужно найти наименьшее натуральное значение $x$, которое удовлетворяет этому двойному неравенству. Наименьшее целое число, которое больше 4, это 5.

Ответ: 5

32. Сумма трёх последовательных нечётных натуральных чисел не превышает 139. Найдите наибольшее значение, которое может принимать третье число из этой тройки чисел.

Обозначим три последовательных нечётных натуральных числа. Удобнее всего обозначить искомое третье число переменной. Пусть третье, самое большое, число равно $n$. Поскольку числа являются последовательными нечётными, они отличаются друг от друга на 2. Тогда второе число равно $n-2$, а первое число равно $n-4$.

По условию задачи, сумма этих трёх чисел не превышает 139. Это означает, что их сумма меньше или равна 139. Составим и решим неравенство:

$(n-4) + (n-2) + n \le 139$

Сложим все члены с переменной $n$ и числовые члены в левой части неравенства:

$3n - 6 \le 139$

Перенесём -6 в правую часть, изменив знак:

$3n \le 139 + 6$

$3n \le 145$

Разделим обе части неравенства на 3:

$n \le \frac{145}{3}$

$n \le 48\frac{1}{3}$

По условию, $n$ — это нечётное натуральное число. Нам нужно найти наибольшее нечётное число, которое удовлетворяет неравенству $n \le 48\frac{1}{3}$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это 48, но оно чётное. Следовательно, наибольшим нечётным числом, которое удовлетворяет данному условию, является 47.

Проверим найденное значение. Если третье число равно 47, то искомая тройка чисел: 43, 45, 47. Их сумма: $43 + 45 + 47 = 135$. Число 135 не превышает 139 ($135 \le 139$), что соответствует условию. Если бы мы взяли следующее нечётное число, 49, то тройка была бы 45, 47, 49, а их сумма $45 + 47 + 49 = 141$, что больше 139. Таким образом, 47 — это действительно наибольшее возможное значение.

Ответ: 47

33. Решите уравнение:

1) $|x+4| - x = 1;$

2) $|3x-1| + x = 2;$

3) $|x-2| + x = 8;$

4) $|x+2| - x = 6.$

1) $|x + 4| - x = 1$

Для решения уравнения с модулем необходимо рассмотреть два случая, основанных на знаке выражения под знаком модуля.

Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, то есть $x + 4 \geq 0$, что эквивалентно $x \geq -4$.

В этом случае $|x + 4| = x + 4$. Подставим это в исходное уравнение:

$(x + 4) - x = 1$

$4 = 1$

Полученное равенство является неверным. Это означает, что на промежутке $x \geq -4$ решений нет.

Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, то есть $x + 4 < 0$, что эквивалентно $x < -4$.

В этом случае $|x + 4| = -(x + 4) = -x - 4$. Подставим это в исходное уравнение:

$(-x - 4) - x = 1$

$-2x - 4 = 1$

$-2x = 5$

$x = -\frac{5}{2} = -2.5$

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень $x = -2.5$ рассматриваемому промежутку $x < -4$.

Поскольку $-2.5 > -4$, условие не выполняется. Следовательно, $x = -2.5$ не является решением.

Так как ни в одном из случаев мы не получили корней, удовлетворяющих соответствующим условиям, уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

2) $|3x - 1| + x = 2$

Рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения.

Случай 1: $3x - 1 \geq 0$, то есть $x \geq \frac{1}{3}$.

В этом случае $|3x - 1| = 3x - 1$. Уравнение принимает вид:

$(3x - 1) + x = 2$

$4x - 1 = 2$

$4x = 3$

$x = \frac{3}{4}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \geq \frac{1}{3}$. Так как $\frac{3}{4} \geq \frac{1}{3}$ (или $0.75 \geq 0.33...$), условие выполняется, и $x = \frac{3}{4}$ является решением.

Случай 2: $3x - 1 < 0$, то есть $x < \frac{1}{3}$.

В этом случае $|3x - 1| = -(3x - 1) = -3x + 1$. Уравнение принимает вид:

$(-3x + 1) + x = 2$

$-2x + 1 = 2$

$-2x = 1$

$x = -\frac{1}{2}$

Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x < \frac{1}{3}$. Так как $-\frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ (или $-0.5 < 0.33...$), условие выполняется, и $x = -\frac{1}{2}$ является решением.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $-\frac{1}{2}; \frac{3}{4}$.

3) $|x - 2| + x = 8$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x - 2 \geq 0$, то есть $x \geq 2$.

При этом условии $|x - 2| = x - 2$. Уравнение принимает вид:

$(x - 2) + x = 8$

$2x - 2 = 8$

$2x = 10$

$x = 5$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $x=5$ условию $x \geq 2$. Условие $5 \geq 2$ выполняется, значит, $x=5$ является корнем уравнения.

Случай 2: $x - 2 < 0$, то есть $x < 2$.

При этом условии $|x - 2| = -(x - 2) = -x + 2$. Уравнение принимает вид:

$(-x + 2) + x = 8$

$2 = 8$

Получено неверное равенство, это означает, что на промежутке $x < 2$ решений нет.

Следовательно, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $5$.

4) $|x + 2| - x = 6$

Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x + 2 \geq 0$, то есть $x \geq -2$.

В этом случае $|x + 2| = x + 2$. Уравнение примет вид:

$(x + 2) - x = 6$

$2 = 6$

Получено неверное равенство, следовательно, на промежутке $x \geq -2$ решений нет.

Случай 2: $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$.

В этом случае $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Уравнение примет вид:

$(-x - 2) - x = 6$

$-2x - 2 = 6$

$-2x = 8$

$x = -4$

Проверяем, удовлетворяет ли корень $x = -4$ условию $x < -2$. Условие $-4 < -2$ выполняется, следовательно, $x=-4$ является корнем уравнения.

Ответ: $-4$.

34. Постройте график функции:

1) $y = |x + 2|$;

2) $y = |x - 4| - 2$;

3) $y = |x + 1| + 2x$.

1) $y = |x + 2|$

Для построения графика функции $y = |x + 2|$ воспользуемся определением модуля. Модуль числа (или выражения) равен самому числу, если оно неотрицательно, и равен противоположному числу, если оно отрицательно.

Раскроем модуль, рассмотрев два случая:

1. Если подмодульное выражение $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$, то $|x + 2| = x + 2$. Функция принимает вид $y = x + 2$.

2. Если подмодульное выражение $x + 2 < 0$, то есть $x < -2$, то $|x + 2| = -(x + 2) = -x - 2$. Функция принимает вид $y = -x - 2$.

Таким образом, наша функция является кусочно-линейной:

$y = \begin{cases} x + 2, & \text{при } x \ge -2 \\ -x - 2, & \text{при } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика построим каждую из этих прямых на соответствующем промежутке.

• Строим график $y = x + 2$ для $x \ge -2$. Это луч, начинающийся в точке, где $x = -2$.
  Найдем координаты начальной точки: при $x = -2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
  Найдем еще одну точку для построения луча, например, при $x = 0$: $y = 0 + 2 = 2$. Точка $(0, 2)$.
  Проводим луч через точки $(-2, 0)$ и $(0, 2)$.

• Строим график $y = -x - 2$ для $x < -2$. Это луч, который также подходит к точке, где $x = -2$.
  Координаты конечной точки луча: при $x = -2$, $y = -(-2) - 2 = 2 - 2 = 0$. Точка $(-2, 0)$.
  Найдем еще одну точку, например, при $x = -4$: $y = -(-4) - 2 = 4 - 2 = 2$. Точка $(-4, 2)$.
  Проводим луч через точки $(-4, 2)$ и $(-2, 0)$.

Также можно построить этот график путем сдвига графика функции $y = |x|$ на 2 единицы влево вдоль оси Ox.

Ответ: График функции $y = |x + 2|$ представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей, с вершиной в точке $(-2, 0)$ и ветвями, направленными вверх.

2) $y = |x - 4| - 2$

Этот график можно построить с помощью геометрических преобразований графика функции $y = |x|$.

1. Строим базовый график $y = |x|$. Это "галочка" с вершиной в начале координат $(0, 0)$.

2. Строим график $y = |x - 4|$. Это график $y = |x|$, сдвинутый на 4 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина перемещается в точку $(4, 0)$.

3. Строим график $y = |x - 4| - 2$. Это график $y = |x - 4|$, сдвинутый на 2 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина перемещается из $(4, 0)$ в точку $(4, -2)$.

Альтернативный способ — раскрытие модуля.

$y = \begin{cases} (x - 4) - 2, & \text{при } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) - 2, & \text{при } x - 4 < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} x - 6, & \text{при } x \ge 4 \\ -x + 2, & \text{при } x < 4 \end{cases}$

Теперь построим два луча:

• Луч $y = x - 6$ при $x \ge 4$.
  Начальная точка: при $x = 4$, $y = 4 - 6 = -2$. Точка $(4, -2)$.
  Другая точка: при $x = 6$, $y = 6 - 6 = 0$. Точка $(6, 0)$.

• Луч $y = -x + 2$ при $x < 4$.
  Конечная точка: при $x = 4$, $y = -4 + 2 = -2$. Точка $(4, -2)$.
  Другая точка: при $x = 2$, $y = -2 + 2 = 0$. Точка $(2, 0)$.

Соединив лучи, получаем искомый график.

Ответ: График функции $y = |x - 4| - 2$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(4, -2)$ и ветвями, направленными вверх. График пересекает ось Ox в точках $(2, 0)$ и $(6, 0)$.

3) $y = |x + 1| + 2x$

Для построения этого графика необходимо раскрыть модуль, так как здесь присутствует слагаемое $2x$ вне модуля, и простым сдвигом обойтись нельзя.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака подмодульного выражения $x + 1$.

1. Если $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$, то $|x + 1| = x + 1$.
Функция принимает вид: $y = (x + 1) + 2x = 3x + 1$.

2. Если $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$, то $|x + 1| = -(x + 1) = -x - 1$.
Функция принимает вид: $y = -(x + 1) + 2x = -x - 1 + 2x = x - 1$.

Итак, получаем кусочно-заданную функцию:

$y = \begin{cases} 3x + 1, & \text{при } x \ge -1 \\ x - 1, & \text{при } x < -1 \end{cases}$

График будет состоять из двух лучей, "ломающихся" в точке, где $x = -1$.

• Строим луч $y = 3x + 1$ для $x \ge -1$.
  Найдем начальную точку: при $x = -1$, $y = 3(-1) + 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
  Возьмем еще одну точку, например, при $x = 0$: $y = 3(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
  Проводим луч, выходящий из $(-1, -2)$ и проходящий через $(0, 1)$.

• Строим луч $y = x - 1$ для $x < -1$.
  Найдем конечную точку луча: при $x \to -1$, $y \to -1 - 1 = -2$. Точка $(-1, -2)$.
  Возьмем еще одну точку, например, при $x = -3$: $y = -3 - 1 = -4$. Точка $(-3, -4)$.
  Проводим луч, проходящий через $(-3, -4)$ и заканчивающийся в $(-1, -2)$.

Оба луча соединяются в точке $(-1, -2)$.

Ответ: График функции $y = |x + 1| + 2x$ представляет собой объединение двух лучей, исходящих из общей точки $(-1, -2)$. При $x \ge -1$ график совпадает с прямой $y = 3x + 1$, а при $x < -1$ — с прямой $y = x - 1$.