Номер 29, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

29. При каких значениях $a$ можно разложить на линейные множители квадратный трёхчлен:

1) $3x^2 + 5x + 2a;$

2) $ax^2 - 3x + 3?$

Квадратный трёхчлен вида $Ax^2 + Bx + C$ можно разложить на линейные множители тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $Ax^2 + Bx + C = 0$ имеет действительные корни. Это условие выполняется, если дискриминант $D = B^2 - 4AC$ неотрицателен, то есть $D \ge 0$.

1) $3x^2 + 5x + 2a$

В данном трёхчлене коэффициенты равны $A=3$, $B=5$, $C=2a$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (2a) = 25 - 24a$.

Для того чтобы трёхчлен можно было разложить на линейные множители, необходимо выполнение условия $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$25 - 24a \ge 0$

$25 \ge 24a$

$a \le \frac{25}{24}$

Ответ: $a \le \frac{25}{24}$.

2) $ax^2 - 3x + 3$

Данное выражение является квадратным трёхчленом только при условии, что старший коэффициент не равен нулю, то есть $a \ne 0$.

При $a \ne 0$ коэффициенты равны $A=a$, $B=-3$, $C=3$.

Найдём дискриминант:

$D = B^2 - 4AC = (-3)^2 - 4 \cdot a \cdot 3 = 9 - 12a$.

Условие разложения на линейные множители — $D \ge 0$.

Решим неравенство:

$9 - 12a \ge 0$

$9 \ge 12a$

$a \le \frac{9}{12}$

$a \le \frac{3}{4}$

Объединяя это условие с требованием $a \ne 0$, получаем, что трёхчлен можно разложить на линейные множители при $a \le \frac{3}{4}$ и $a \ne 0$.

Ответ: $a \le \frac{3}{4}, a \ne 0$ (или в виде объединения промежутков: $a \in (-\infty; 0) \cup (0; \frac{3}{4}]$).