Номер 28, страница 43 - гдз по алгебре 9 класс дидактические материалы Мерзляк, Полонский

28. При каких значениях x имеет смысл выражение:

1) $\sqrt{3x - 5};$

2) $\sqrt{4 - 13x};$

3) $\frac{2}{\sqrt{7x + 35}};$

4) $\sqrt{x + 9} + \frac{1}{x - 4};$

5) $\sqrt{9 - 15x} + \frac{3}{x^2 - 1};$

6) $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}} + \frac{1}{|x| - 2}?$

1) Выражение $\sqrt{3x - 5}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно, то есть больше или равно нулю.
$3x - 5 \ge 0$
$3x \ge 5$
$x \ge \frac{5}{3}$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $[\frac{5}{3}; +\infty)$.
Ответ: $x \in [\frac{5}{3}; +\infty)$.

2) Выражение $\sqrt{4 - 13x}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение неотрицательно.
$4 - 13x \ge 0$
$-13x \ge -4$
При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:
$x \le \frac{-4}{-13}$
$x \le \frac{4}{13}$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $(-\infty; \frac{4}{13}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; \frac{4}{13}]$.

3) Выражение $\frac{2}{\sqrt{7x + 35}}$ имеет смысл, когда подкоренное выражение в знаменателе строго больше нуля (так как на ноль делить нельзя и корень из отрицательного числа не извлекается в действительных числах).
$7x + 35 > 0$
$7x > -35$
$x > -5$
Таким образом, $x$ принадлежит промежутку $(-5; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-5; +\infty)$.

4) Выражение $\sqrt{x + 9} + \frac{1}{x - 4}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{x + 9}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$x + 9 \ge 0 \implies x \ge -9$.
2. Для слагаемого $\frac{1}{x - 4}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x - 4 \ne 0 \implies x \ne 4$.
Объединяя оба условия, получаем, что $x$ должен быть больше или равен $-9$ и не равен $4$.
Это соответствует объединению промежутков $[-9; 4)$ и $(4; +\infty)$.
Ответ: $x \in [-9; 4) \cup (4; +\infty)$.

5) Выражение $\sqrt{9 - 15x} + \frac{3}{x^2 - 1}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\sqrt{9 - 15x}$ подкоренное выражение должно быть неотрицательно:
$9 - 15x \ge 0 \implies -15x \ge -9 \implies x \le \frac{9}{15} \implies x \le \frac{3}{5}$.
2. Для слагаемого $\frac{3}{x^2 - 1}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$x^2 - 1 \ne 0 \implies x^2 \ne 1 \implies x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Объединяем условия: $x \le \frac{3}{5}$, $x \ne 1$ и $x \ne -1$.
Условие $x \le \frac{3}{5}$ автоматически исключает значение $x = 1$, так как $\frac{3}{5} < 1$. Остается исключить $x = -1$.
Таким образом, $x$ принадлежит промежуткам $(-\infty; -1)$ и $(-1; \frac{3}{5}]$.
Ответ: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; \frac{3}{5}]$.

6) Выражение $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}} + \frac{1}{|x| - 2}$ имеет смысл, когда оба слагаемых имеют смысл.
1. Для слагаемого $\frac{4}{\sqrt{2x + 18}}$ подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго больше нуля:
$2x + 18 > 0 \implies 2x > -18 \implies x > -9$.
2. Для слагаемого $\frac{1}{|x| - 2}$ знаменатель не должен быть равен нулю:
$|x| - 2 \ne 0 \implies |x| \ne 2 \implies x \ne 2$ и $x \ne -2$.
Объединяем условия: $x > -9$, $x \ne -2$ и $x \ne 2$.
Это соответствует объединению промежутков $(-9; -2)$, $(-2; 2)$ и $(2; +\infty)$.
Ответ: $x \in (-9; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.